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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Do 01.06.2006 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | | Finde das Maximum und Minimum der Funktion [mm] f(x)=x^3+2y^3+3z^3 [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] g(x)=x^2+y^2+z^2=1. [/mm] |
Ich wollte die Aufgabe mit dem Verfahren von Lagrange angehen. Habe dazu die Hilfsfunktion [mm] L(x,y,z,\lambda )=f(x,y,z)+\lambda*g(x,y,z) [/mm] gebildet und die Ableitungen [mm] L_x, L_y, L_z [/mm] und [mm] L_\lambda [/mm] berechnet.
Ich erhalte [mm] L_x=3x^2+2x\lambda=0
[/mm]
und [mm] L_y=6y^2+2y\lambda=0
[/mm]
und [mm] L_z=9z^2+2z\lambda=0
[/mm]
und [mm] L_\lambda=x^2+y^2+z^2-1=0
[/mm]
Aber wie soll ich dieses fürchterliche Gleichungssystem nun auflösen, und vor allem nach welchen Variablen? Oder gibt es für die Aufgabe einen einfacheren Weg?
Ich habe diese Frage nirgends sonst gestellt. Bitte helft mir! Danke!!!
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Aber das ist doch nicht fürchterlich, ganz im Gegenteil, sogar relativ einfach!
Löse die ersten drei Gleichungen nach x,y,z auf.
Alle drei können 0 sein, oder
[mm] $x=\bruch{2\lambda}{3}$
[/mm]
[mm] $y=\bruch{\lambda}{3}$
[/mm]
[mm] $z=\bruch{2\lambda}{9}$
[/mm]
Das setzt du in die letzte Gleichung ein und berechnest [mm] \lambda. [/mm] Dieses Lambda setzt du wieder in die Gleichungen ein.
Vergiß die Fallunterscheidungen aber nicht, lambda kann positiv und negativ sein (wg Quadrat), und ein oder zwei der Koordinaten x,y,z können ja 0 sein. Es gibt also etwas Schreibarbeit.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Do 01.06.2006 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | | Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe allerdings noch eine Frage: |
Offensichtlich scheidet die Lösung x=y=z=0 aus, da sie die Nebenbedinung nicht erfüllt. Rechne ich nun so, wie Du es gesagt hast, bekomme ich [mm] \lambda=\bruch{9}{7} [/mm] oder [mm] \lambda=-\bruch{9}{7}. [/mm] Im ersten Fall folgt dann x=6/7, y=3/7 und z=2/7. Im zweiten Fall das gleiche mit umgekehrten Vorzeichen.
Nun meine Frage: Sind diese beiden nun alle Lösungen, oder gibt es noch "Mischlösungen", z.b. x=0, y=3/7 und z=-2/7 usw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Do 01.06.2006 | | Autor: | sclossa |
Meiner Meinung nach sieht das jetzt so ziemlich gut aus. Ich bin mir aber nicht sicher ob noch Randpunkte zu betrachten sind? Auf jeden Fall kann jetzt nicht mehr viel fehlen...
Leider sieht es bei meiner Extremwertaufgabe nicht so gut aus - vielleicht könntet ihr beide euch sie ja mal anschauen (*grins*)?
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Natürlich mußt du da sehr viele Fallunterscheidungen machen.
Es ist alles richtig, was du da gerechnet hast. x=y=z=0 scheidet aus, aber es könnte sein, daß eine der Variablen 0 ist (gibt 3 Fälle), oder sogar, daß zwei null sind, was wieder drei Fälle sind. Zusammen damit, daß keine null ist, gibt es damit 7 Fallunterscheidungen!
Edit: Öhm, ja, wegen den zwei Vorzeichen von lambda, verdoppelt sich die Anzahl nochmal, also 14 verschiedene Fälle.
Aber da läßt sich im Schlußsatz sicher einiges vereinfachen! Vielleicht liefern die ganzen Lösungen Teile einer Gesamt(lösungs)figur Oder es kommt mehrmals das selbe raus? Da mußt du mal schauen.
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