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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Mo 20.07.2009 | | Autor: | cpm |
| Aufgabe | | Minimale und maximale Entfernung eines Punktes zu einer Ellipse mit Lagrange ermitteln. |
Hallo,
ich habe hier dieses Lagrange-Problem aus der Nichtlinearen Optimierung.
Aber ich komme auf keine Lösung, ich habe zwar die Funktion und Nebenbedingung mit Lagrange-Moltiplikator und Gradient und Ableitung und dann Gauß hinbekommen, aber nun hänge ich an der Stelle, wo ich x1 und x2 auflösen soll, um die Min und Max Koordinaten zu ermitteln.
Hier meine Ergebnisse soweit für bspw. Punkt (3|4):
Abstand des Punktes (3|4) zu den Koordinaten (x1|x2) der Ellipse:
[mm]f = (3-x_1)^2 + (4-x_2)^2[/mm]
Nebenbedingung für x1 und x2 ist, daß sie sich auf einer Ellipse befinden, Nullsetzen wegen Lagrange:
[mm]g = 0 = x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 - 5[/mm]
Lagrange-Funktion:
[mm] L=f+\lambda\cdot g = (3-x_1)^2 + (4-x_2)^2 +\lambda(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 - 5)[/mm]
Nachdem ich dann noch den Gradientenvektor von L durch Ableiten gebildet habe, und diesen dann mit Gauß versucht habe, die Werte für x1 und x2 zu ermitteln, bin ich an dieser Stelle hängengeblieben, weil ich nicht weiß, wie ich da weiterkommen soll, um auf x1 und x2 zu kommen, könnt ihr mir da bitte helfen?
Hier hänge ich, das ist die I und II gleichgesetzt und Lambda aufgelöst, wie komm ich da auf x1 und x2?:
[mm]-10x_1+4x_2-2x_1x_2-2x_1^2+2x_2^2=0[/mm]
Also praktisch suche ich die Nullstellen dieses Polynoms, wenn ich das richtig verstehe.
Grüße,
cpm
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Minimale und maximale Entfernung eines Punktes zu einer
> Ellipse mit Lagrange ermitteln.
> Hallo,
> ich habe hier dieses Lagrange-Problem aus der
> Nichtlinearen Optimierung.
> Aber ich komme auf keine Lösung, ich habe zwar die
> Funktion und Nebenbedingung mit Lagrange-Moltiplikator und
> Gradient und Ableitung und dann Gauß hinbekommen, aber nun
> hänge ich an der Stelle, wo ich x1 und x2 auflösen soll,
> um die Min und Max Koordinaten zu ermitteln.
> Hier meine Ergebnisse soweit für bspw. Punkt (3|4):
> Abstand des Punktes (3|4) zu den Koordinaten (x1|x2) der
> Ellipse:
> [mm]f = (3-x_1)^2 + (4-x_2)^2[/mm]
>
> Nebenbedingung für x1 und x2 ist, daß sie sich auf einer
> Ellipse befinden, Nullsetzen wegen Lagrange:
> [mm]g = 0 = x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 - 5[/mm]
>
> Lagrange-Funktion:
> [mm]L=f+\lambda\cdot g = (3-x_1)^2 + (4-x_2)^2 +\lambda(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 - 5)[/mm]
>
> Nachdem ich dann noch den Gradientenvektor von L durch
> Ableiten gebildet habe, und diesen dann mit Gauß versucht
> habe, die Werte für x1 und x2 zu ermitteln, bin ich an
> dieser Stelle hängengeblieben, weil ich nicht weiß, wie
> ich da weiterkommen soll, um auf x1 und x2 zu kommen,
> könnt ihr mir da bitte helfen?
>
> Hier hänge ich, das ist die I und II gleichgesetzt und
> Lambda aufgelöst, wie komm ich da auf x1 und x2?:
> [mm]-10x_1+4x_2-2x_1x_2-2x_1^2+2x_2^2=0[/mm]
> Also praktisch suche ich die Nullstellen dieses Polynoms,
> wenn ich das richtig verstehe.
>
> Grüße,
> cpm
Hallo cpm,
du brauchst nicht eine Gleichung für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2,
[/mm]
sondern du musst das Gleichungssystem für
[mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] \lambda [/mm] auflösen, das du eigentlich
haben solltest.
Wenn du "zwei Gleichungen gleichsetzt" (was nebenbei
eine falsche Ausdrucksweise ist), also wenn du aus
zwei Gleichungen der Form
[mm] T_1(x_1,x_2)=0 [/mm] und [mm] T_2(x_1,x_2)=0
[/mm]
die Gleichung [mm] T_1(x_1,x_2)=T_2(x_1,x_2)
[/mm]
machst, so bedeutet dies einen Informationsverlust.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 20.07.2009 | | Autor: | cpm |
Hallo Al-Chwarizmi,
ich hab meinen Gauß grade nochmal nachgerechnet, und dabei festgestellt, daß ich mich mittendrin verrechnet habe, darum ist die alte Stelle wo ich hängenblieb, falsch. Ich rechne es grade nochmal fertig, dann sollte es sich von selbst auflösen nach x1 und x2.
Die Lösung stell ich dann hier rein.
Grüße,
cpm
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hallo cpm
Ich hab's mal durchgerechnet. Mein Gleichungssystem
lautet:
[mm] $\begin{cases} (1)&\,(2+2\,\lambda)\,x+\lambda\,y\,=\,6\\(2)&\,\lambda\,x+\,(2+2\,\lambda)y\,=\,8\\(3)&\ x^2+x\,y+y^2-5=0 \end{cases}$
[/mm]
Die Auflösung führt auf eine Gleichung 4. Grades
für [mm] \lambda [/mm] mit 2 reellen und 2 komplexen Lösungen.
Die reellen führen dann auf die zwei gesuchten
Ellipsenpunkte.
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Mo 20.07.2009 | | Autor: | cpm |
Hallo Al-Chwarizmi,
also mein Gleichunggsystem schaut genauso aus wie deins.
Aber ich habs jetzt nochmal neu durchgerechnet, nun hab ich zwar dieses störende x1x2-Produkt eliminieren können, aber ich lande wieder bei einem Polynom, mit dem ich nicht weiterkomme, kannst du mir bitte deine Rechenschritte sagen?
Ich lande mit Gleichung I bei diesem Polynom, kanns aber nicht nach x1 oder x2 auflösen wegen den Potenzen:
[mm]-2x_1^2-10x_1+4x_2+2x_2^2=0[/mm]
Grüße,
cpm
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> Hallo Al-Chwarizmi,
> also mein Gleichunggsystem schaut genauso aus wie deins.
> Aber ich habs jetzt nochmal neu durchgerechnet, nun hab
> ich zwar dieses störende x1x2-Produkt eliminieren können,
> aber ich lande wieder bei einem Polynom, mit dem ich nicht
> weiterkomme, kannst du mir bitte deine Rechenschritte
> sagen?
> Ich lande mit Gleichung I bei diesem Polynom, kanns aber
> nicht nach x1 oder x2 auflösen wegen den Potenzen:
> [mm]-2x_1^2-10x_1+4x_2+2x_2^2=0[/mm]
> Grüße,
> cpm
Hallo cpm,
$ [mm] \begin{cases} (1)&\,(2+2\,\lambda)\,x+\lambda\,y\,=\,6\\(2)&\,\lambda\,x+\,(2+2\,\lambda)y\,=\,8\\(3)&\ x^2+x\,y+y^2-5=0 \end{cases} [/mm] $
Ich habe zuerst das lineare System aus den
Gleichungen (1) und (2) mittels ![[]](/images/popup.gif) Cramer nach
x und y aufgelöst. Für x erhielt ich dabei
die Formel
$\ x\ =\ [mm] \bruch{4\,\lambda+12}{3\,\lambda^2+8\,\lambda+4}$
[/mm]
Einsetzen für die x und y in der Ellipsenglei-
chung (3) führt dann auf die Gleichung 4. Grades
in [mm] \lambda [/mm] , welche allerdings keine "angenehmen"
Lösungen hat.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mo 20.07.2009 | | Autor: | cpm |
Und wie bekommst du dann das Lambda noch weg? Wenn ich in (3) einsetze, dann will ich doch entweder nur x1 oder nur x2 bekommen, aber da ist dann doch dieses Lambda noch mit dabei, oder?
Und diese Gleichung 4. Grades, wie bekommst du davon dann die Koordinaten?
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> Und wie bekommst du dann das Lambda noch weg? Wenn ich in
> (3) einsetze, dann will ich doch entweder nur x1 oder nur
> x2 bekommen, aber da ist dann doch dieses Lambda noch mit
> dabei, oder?
Hallo,
hast du denn die Gleichung, in der nur
noch [mm] \lambda [/mm] (und kein [mm] x_1\,, [/mm] kein [mm] x_2\,) [/mm] vorkommt,
wirklich schon aufgestellt, und hast du
sie gelöst ?
Nachher setzt du die (reellen) Lösungen
in die entsprechenden Formeln ein und
berechnest so die x- und y-Koordinaten
der Punkte mit extremalen Abständen
von P(3/4).
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Mo 20.07.2009 | | Autor: | cpm |
Nein, hab ich noch nicht. Ich wunder mich nur, daß diese Aufgabe um soviel schwerer ist, als eine ähnliche Aufgabe, in der es lediglich darum ging, den min und max Abstand der Ellipse vom Nullpunkt zu bestimmen.
Lässt sich eigentlich der Punkt (3|4) auch verallgemeinern und als Aufgabe mit Punkt (x3|x4) berechnen? Also dann mit Funktion f=(x3-x1)+(x4-x2)?
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> Nein, hab ich noch nicht. Ich wunder mich nur, daß diese
> Aufgabe um soviel schwerer ist, als eine ähnliche Aufgabe,
> in der es lediglich darum ging, den min und max Abstand der
> Ellipse vom Nullpunkt zu bestimmen.
Das ist auch kein Wunder, denn der Nullpunkt
ist der Mittelpunkt dieser Ellipse.
> Lässt sich eigentlich der Punkt (3|4) auch verallgemeinern
> und als Aufgabe mit Punkt (x3|x4) berechnen? Also dann mit
> Funktion f=(x3-x1)+(x4-x2)?
Das würde ich jetzt nicht gerade empfehlen,
denn dann bekommst du statt einer Gleichung
mit bestimmten reellen Koeffizienten eine mit
den Parametern [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4\,, [/mm] welche noch wesentlich
schwieriger zu behandeln wäre !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Mo 20.07.2009 | | Autor: | cpm |
Gut, danke für den Tipp, also wenn das allgemeine Problem noch viel schwerer ist, dann weiß ich schon, daß ich mich nur auf das hier gestellte, spezielle Problem mit konkretem gegebenem Koordinaten-Punkt konzentrieren brauche :)
Kannst du mir bitte schonmal die Lösungskoordinaten sagen, damit ich sie schonmal in die Zeichnung eintragen kann, brauche jetz einen kleinen Motivationsschub :)
Dann werd ichs ausrechnen.
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Lösungskoordinaten:
[mm] $\lambda_1\approx\ [/mm] \ [mm] 1.159\quad\ P_1\approx(0.961/\,1.595\,)\quad\ [/mm] \ \ [mm] d_1\approx3.153$
[/mm]
[mm] $\lambda_2\approx-2.821\quad P_2\approx(0.135/-2.300\,)\quad d_2\approx6.921$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Mo 20.07.2009 | | Autor: | cpm |
Super, vielen Dank :) Habs in die Zeichnung eingetragen, passt. Also du hast halt bei den Koordinaten nur jeweils x1 und x2 vertauscht, dann passts :)
Jetzt werd ichs mal versuchen, selber ausrechnen, bin mal gespannt, ob ichs auch schaffe.
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> Super, vielen Dank :) Habs in die Zeichnung eingetragen,
> passt. Also du hast halt bei den Koordinaten nur jeweils x1
> und x2 vertauscht, dann passts :)
> Jetzt werd ichs mal versuchen, selber ausrechnen, bin mal
> gespannt, ob ichs auch schaffe.
So weit mir bewusst ist, habe ich nichts
vertauscht. Auch eine Zeichnung habe
ich erstellt und darin keinen Widerspruch
zu meinen Rechnungen festgestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Mo 20.07.2009 | | Autor: | cpm |
Ich habs gerade aufgegeben, hab seitenlang die Gleichung (3) mit x1 und x2 aufgelöst nach Lambda mit Cramerregel gerechnet, das dauert ja ewig.
Es muß doch auch so gehen, daß ich Gleichung 1 und 2 mit Gauß verarbeite, komm ich ja wie ich anfangs schon geschrieben hab, auf diese Gleichung:
[mm]-2x_1^2-10x_1+4x_2+2x_2^2=0[/mm]
Daraus kann ich doch die Nullstellen für x1 und x2 berechnen und diese dann in Gleichung 3 einsetzen. Das ist der mir bekannte weg für diese Art von Aufgaben.
Nur ist halt mein Problem, wie ich
[mm]-2x_1^2-10x_1+4x_2+2x_2^2=0[/mm] lösen soll, das ist doch quasi was komplexes, oder?
Wie bekomme ich davon die Nullstellen?
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> Ich habs gerade aufgegeben, hab seitenlang die Gleichung
> (3) mit x1 und x2 aufgelöst nach Lambda mit Cramerregel
> gerechnet, das dauert ja ewig.
> Es muß doch auch so gehen, daß ich Gleichung 1 und 2 mit
> Gauß verarbeite, komm ich ja wie ich anfangs schon
> geschrieben hab, auf diese Gleichung:
> [mm]-2x_1^2-10x_1+4x_2+2x_2^2=0[/mm]
> Daraus kann ich doch die Nullstellen für x1 und x2
> berechnen und diese dann in Gleichung 3 einsetzen. Das ist
> der mir bekannte weg für diese Art von Aufgaben.
>
> Nur ist halt mein Problem, wie ich
> [mm]-2x_1^2-10x_1+4x_2+2x_2^2=0[/mm] lösen soll, das ist doch
> quasi was komplexes, oder?
> Wie bekomme ich davon die Nullstellen?
Dies ist eine Gleichung mit unendlich
vielen Lösungspaaren. Ihre Lösungs-
menge wird in der x-y-Ebene durch
eine Hyperbel dargestellt. Wenn du es
damit versuchen willst, müsstest du
nun die Schnittpunkte dieser Hyperbel
mit der gegebenen Ellipse berechnen.
Ob dies einfacher wird als der Weg über
die Gleichung 4. Grades für [mm] \lambda, [/mm] wage ich
zu bezweifeln. Zur Lösung der Gleichung
habe ich allerdings einen Solver benützt,
und die ganze Rechnung hat vielleicht
eine Viertelstunde beansprucht.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Mo 20.07.2009 | | Autor: | cpm |
Ok danke für deine Hilfe heute. Also ohne Solver ist so eine Aufgabe doch viel zu zeitaufwändig, um sie in 15min zu schaffen, oder?
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> Ok danke für deine Hilfe heute. Also ohne Solver ist so
> eine Aufgabe doch viel zu zeitaufwändig, um sie in 15min
> zu schaffen, oder?
Das sehe ich auch so.
Schönen Abend !
Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 Mo 20.07.2009 | | Autor: | cpm |
Danke, wünsch ich dir auch.
cpm
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