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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Mi 23.09.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Funktion f(x,y,z) = [mm] (x+y+z)^2 [/mm] auf dem Ellipsoid E = [mm] \{(x,y,z) \in \IR^3: x^2+2y^2+3z^2 = 1 \} [/mm] hinsichtlich lokaler Minima und Maxima. Wenden Sie im Falle der Maxima ein hinreichendes Kriterium an. Zeigen Sie, dass diese lokalem Extrema auch global sind. |
Hallo,
Die kritischen Stellen von f unter der Nebenbedingung g (Ellipsoid) habe ich mit Hilfe von Lagrange bestimmt. Ich erhalte:
[mm] a=(\wurzel{\bruch{6}{11}},\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{6}{11}}, \bruch{1}{3}\wurzel{\bruch{6}{11}}) [/mm] und
[mm] b=(-\wurzel{\bruch{6}{11}},-\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{6}{11}}, -\bruch{1}{3}\wurzel{\bruch{6}{11}})
[/mm]
Als hinreichendes Kriterium sollten wir verwenden: Hesse-Matrix von Lagrangefunktion ist negativ definit auf dem Tangetialraum [mm] Tg(x_0), [/mm] dann ist [mm] x_0 [/mm] ein strenges lokales Maximum von f unter der Nebenbedingung g. Das habe ich untersucht und passt. Mir ist aber nicht klar, warum ich nur den Tangetialraum betrachten darf und nicht alle h [mm] \in \IR^n. [/mm]
Auch weiß ich nicht, wie ich zeigen soll, dass die lokalen Extrema globale sind. Normalerweise wird das ja über die Untersuchung der Randextrema gemacht. Aber wie geht das hier?
Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar.
moerni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Mi 23.09.2009 | | Autor: | moerni |
und noch eine Frage: kann es eigentlich auch den Fall geben, dass [mm] \lambda=0 [/mm] ist [mm] (\lambda [/mm] Lagrangemultiplikator)? Dann würde ich doch die Nebenbedingung gar nicht berücksichtigen, oder?
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> und noch eine Frage: kann es eigentlich auch den Fall
> geben, dass [mm]\lambda=0[/mm] ist [mm](\lambda[/mm] Lagrangemultiplikator)?
Ja. Im vorliegenden Beispiel bleibt mit [mm] \lambda=0 [/mm] das
reduzierte Gleichungssystem
$\ x+y+z=0$
$\ [mm] x^2+2\,y^2+3\,z^2-1=0$
[/mm]
übrig. Seine Lösungspunkte sind die Punkte der
Schnittkurve s (wie in den anderen Beiträgen
beschrieben). Dies sind die unendlich vielen
Punkte von E, in welchen f den absolut minimalen
Wert Null hat.
> Dann würde ich doch die Nebenbedingung gar nicht
> berücksichtigen, oder?
Nein, sie fällt doch nicht heraus, weil wir ja
eben noch die Gleichung [mm] $\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$ [/mm] haben,
welche besagt, dass die Nebenbedingung einge-
halten werden muss.
LG Al-Chw.
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> Untersuchen Sie die Funktion f(x,y,z) = [mm](x+y+z)^2[/mm] auf dem
> Ellipsoid E = [mm]\{(x,y,z) \in \IR^3: x^2+2y^2+3z^2 = 1 \}[/mm]
> hinsichtlich lokaler Minima und Maxima. Wenden Sie im Falle
> der Maxima ein hinreichendes Kriterium an. Zeigen Sie, dass
> diese lokalem Extrema auch global sind.
> Hallo,
> Die kritischen Stellen von f unter der Nebenbedingung g
> (Ellipsoid) habe ich mit Hilfe von Lagrange bestimmt. Ich
> erhalte:
>
> [mm]a=(\wurzel{\bruch{6}{11}},\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{6}{11}}, \bruch{1}{3}\wurzel{\bruch{6}{11}})[/mm]
> und
>
> [mm]b=(-\wurzel{\bruch{6}{11}},-\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{6}{11}}, -\bruch{1}{3}\wurzel{\bruch{6}{11}})[/mm]
Hallo moerni,
ich habe erhebliche Zweifel an der Richtigkeit
deiner Berechnung, obwohl ich sie gar nicht
im Einzelnen überprüft habe. siehe unten !
E ist eine dreiachsige Ellipsoidfläche, wobei
die Koordinatenachsen auch die Ellipsoidachsen
sind. f(x,y,z) ist das Quadrat des Abstandes des
Punktes P(x/y/z) vom Nullpunkt und damit vom
Mittelpunkt des Ellipsoids. Die Punkte mit mini-
malen bzw. maximalen Werten von f sollten
deshalb die Endpunkte der kürzesten bzw.
längsten Ellipsenachse sein, etwas anders aus-
gedrückt: Die Berührungspunkte der Fläche E
mit ihrer Inkugel bzw. Umkugel.
LG Al-Chwarizmi
EDIT:
Sorry, die obigen Überlegungen wären richtig,
wenn die Zielfunktion nicht [mm] $\green{f(x,y,z)=(x+y+z)^2}$ [/mm] ,
sondern [mm] $\blue{f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2}$ [/mm] wäre.
Ich hatte die Aufgabenstellung schlicht und
ergreifend nicht richtig gelesen und dann
gemeint, man könne die Aufgabe ganz
elegant anschaulich lösen ...
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Hallo moerni,
nach dem Quatsch, den ich vorhin geschrieben habe,
nun doch eine seriösere Antwort ... 
Ich habe inzwischen das mit der Lagrange-Methode
entstehende Gleichungssystem auch gelöst.
Unter der Annahme [mm] \lambda\not=0 [/mm] hat es genau die
zwei Lösungen, die du angegeben hast. Sie entsprechen
zwei diametral gegenüber liegenden Punkten des
Ellipsoids.
Daneben gibt es aber offenbar noch unendlich viele
Lösungen mit [mm] \lambda=0 [/mm] . Sie entsprechen den Punkten der
Schnittkurve des Ellipsoids mit der Ebene x+y+z=0
und damit (siehe geometrische Lösung) den Punkten
der Ellipsoidfläche mit dem minimalen f-Wert, nämlich
[mm] f_{min}=0 [/mm] .
> Untersuchen Sie die Funktion f(x,y,z) = [mm](x+y+z)^2[/mm] auf dem
> Ellipsoid E = [mm]\{(x,y,z) \in \IR^3: x^2+2y^2+3z^2 = 1 \}[/mm]
> hinsichtlich lokaler Minima und Maxima. Wenden Sie im Falle
> der Maxima ein hinreichendes Kriterium an. Zeigen Sie, dass
> diese lokalen Extrema auch global sind.
> Hallo,
> Die kritischen Stellen von f unter der Nebenbedingung g
> (Ellipsoid) habe ich mit Hilfe von Lagrange bestimmt. Ich
> erhalte:
>
> [mm]a=(\wurzel{\bruch{6}{11}},\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{6}{11}}, \bruch{1}{3}\wurzel{\bruch{6}{11}})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und
>
> [mm]b=(-\wurzel{\bruch{6}{11}},-\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{6}{11}}, -\bruch{1}{3}\wurzel{\bruch{6}{11}})[/mm]
>
> Als hinreichendes Kriterium sollten wir verwenden:
> Hesse-Matrix von Lagrangefunktion ist negativ definit auf
> dem Tangetialraum [mm]Tg(x_0),[/mm] dann ist [mm]x_0[/mm] ein strenges
> lokales Maximum von f unter der Nebenbedingung g. Das habe
> ich untersucht und passt. Mir ist aber nicht klar, warum
> ich nur den Tangetialraum betrachten darf und nicht alle h
> [mm]\in \IR^n.[/mm]
>
> Auch weiß ich nicht, wie ich zeigen soll, dass die lokalen
> Extrema globale sind. Normalerweise wird das ja über die
> Untersuchung der Randextrema gemacht. Aber wie geht das
> hier?
Vielleicht könnte man im vorliegenden Beispiel
damit argumentieren, dass f eine über die gesamte
Ellipsoidfläche hinweg stetige und differenzierbare
Funktion ist und dass E beschränkt ist. Dann muss
ein globales Maximum sicher in solchen Punkten ange-
nommen werden, die schon unter den Lösungen
der Lagrange-Methode vorhanden sind.
> Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar.
> moerni
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> Untersuchen Sie die Funktion f(x,y,z) = [mm](x+y+z)^2[/mm] auf dem
> Ellipsoid E = [mm]\{(x,y,z) \in \IR^3: x^2+2y^2+3z^2 = 1 \}[/mm]
> hinsichtlich lokaler Minima und Maxima. Wenden Sie im Falle
> der Maxima ein hinreichendes Kriterium an. Zeigen Sie, dass
> diese lokalem Extrema auch global sind.
> Hallo,
> Die kritischen Stellen von f unter der Nebenbedingung g
> (Ellipsoid) habe ich mit Hilfe von Lagrange bestimmt. Ich
> erhalte:
>
> [mm]a=(\wurzel{\bruch{6}{11}},\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{6}{11}}, \bruch{1}{3}\wurzel{\bruch{6}{11}})[/mm]
> und
> [mm]b=(-\wurzel{\bruch{6}{11}},-\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{6}{11}}, -\bruch{1}{3}\wurzel{\bruch{6}{11}})[/mm]
Hallo moerni,
deine Rechnung ist doch in Ordnung !
E ist eine dreiachsige Ellipsoidfläche, wobei
die Koordinatenachsen auch die Ellipsoidachsen
sind. Der Wert des Terms f(x,y,z) ist proportional
zum Quadrat des Abstandes des Punktes P(x/y/z)
von der Ebene P: x+y+z=0 .
Die Punkte mit minimalen Werten von f sind
deshalb die (unendlich vielen) Punkte der Schnitt-
kurve [mm] s=E\cap{P} [/mm] der Ellipsoidfläche E mit der Ebene P .
In allen Punkten [mm] P\in{s} [/mm] ist f(x,y,z)=0 .
Die Punkte mit maximalem Wert von f sind
die Punkte von E mit größtmöglichem Abstand
von P, mit anderen Worten die Berührungspunkte
[mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] der beiden zu P parallelen Tangentialebenen [mm] T_1
[/mm]
und [mm] T_2 [/mm] des Ellipsoids E. Um [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] ohne Lagrange
zu bestimmen, kann man diejenigen Ellipsoid-
punkte suchen, in welchen der Normalenvektor,
also der Gradient der Funktion [mm] x^2+2\,y^2+3\,z^2-1
[/mm]
parallel zum Normalenvektor [mm] \vec{n}=\pmat{1\\1\\1} [/mm] der
Ebene P ist. Rechnerisch führt dies dann zur Be-
stimmung der Schnittpunkte einer Ursprungsgeraden
mit der Ellipsoidfläche.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Do 24.09.2009 | | Autor: | moerni |
Danke erstmal für deine Bemühungen und Erklärungen!
Ich bewundere deine geometrischen Beschreibungen. Wie kann man sich das herleiten und wie kommt man dadrauf? Kannst du mir da vielleicht ein Skript oder ähnliches empfehlen, das mir da weiterhelfen kann?
Eine Frage habe ich noch: Ist das im allgemeinen so, dass man bei der Lagrange-Methode als hinreichendes Kriterium die Hessematrix nur auf dem Tangentialraum betrachten muss?
Grüße, moerni
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> Danke erstmal für deine Bemühungen und Erklärungen!
Danke für die ![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]") !
> Ich bewundere deine geometrischen Beschreibungen. Wie kann
> man sich das herleiten und wie kommt man dadrauf ?
Naja, da steckt irgendwie jahrelange Erfahrung und
Übung dahinter. Im Gymnasium hatte ich z.B. schon
2 oder [mm] 2\frac{1}{2} [/mm] Jahre darstellende Geometrie und habe
dieses Fach nebst der übrigen Mathematik (inkl. Vektor-
geometrie) auch viele Jahre unterrichtet.
Ich versuche, mir alle Aufgaben mit geometrischem
Hintergrund eben auch wirklich anschaulich vorzu-
stellen statt sie nur mit schematischen Verfahren
rechnerisch zu lösen.
> Kannst du mir da vielleicht ein Skript oder ähnliches empfehlen,
> das mir da weiterhelfen kann ?
Ich hab's selber eben kaum durch Skripte, sondern in
erster Linie durch eigene Beschäftigung gelernt.
Vielleicht sollte ich mir überlegen, mal ein entsprechendes
Buch zu schreiben ...
> Eine Frage habe ich noch: Ist das im allgemeinen so, dass
> man bei der Lagrange-Methode als hinreichendes Kriterium
> die Hessematrix nur auf dem Tangentialraum betrachten
> muss ?
Die Antwort bin ich dir noch schuldig geblieben - ich
müsste es mir noch überlegen. Wenn's mir klar wird,
melde ich mich nochmal. Vielleicht hat aber sonst wer
die Antwort zur Hand ...
> Grüße, moerni
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> Eine Frage habe ich noch: Ist das im allgemeinen so, dass
> man bei der Lagrange-Methode als hinreichendes Kriterium
> die Hessematrix nur auf dem Tangentialraum betrachten
> muss?
> Grüße, moerni
Hier erst mal auch ein anschaulicher Erklärungsversuch:
Eigentlich sollte man ja die Matrix für Punkte betrachten,
welche in einer in der Fläche E liegenden Umgebung
des Punktes [mm] P_o [/mm] liegen. Falls sich dies als schwierig
herausstellen sollte, ist das "Zweitbeste", dass man
zuerst die (krumme) Fläche E in einer kleinen Umgebung
von [mm] P_o [/mm] durch ihre Tangentialebene ersetzt. Da Diffe-
renzierbarkeit vorausgesetzt wird, kann dies für nahe
bei [mm] P_o [/mm] liegende Punkte nur zu Abweichungen zweiter
Ordnung führen. Der genaue Beweis, dass sich diese
Eigenschaft auch auf das Verhalten der Hesse-Matrix
überträgt, dürfte etwas schwieriger fallen. Vermutlich
lässt sich aber ein solcher Beweis relativ leicht finden.
LG Al-Chw.
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Normalerweise geht man bei Lagrange über den Zwischenwertsatz und betrachtet ein kompaktes Intervall anstatt das hinreichende Kriterium zu checken.
Falls man das trotzdem machen will/muss hab ich das in meinen Unterlagen gefunden:
[Dateianhang nicht öffentlich]
hoffe darauf zielt die Frage ab - hab mir nicht die ganze Diskussion durchgelesen...=p
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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