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Lagrange: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Mo 19.09.2011
Autor: SineNomine

Guten Abend,
diese Aufgabe bereitet mir einiges Kopfzerbrechen und ich hoffe, dass mir jemand helfen kann. Vielen Dank schon im Voraus!

Also, die Aufgabenstellung lautet:
Für eine bestimmte Produktionsmenge soll die kostengünstigste Faktoreinsatzmengenkombination ermittelt werden. Es gibt die folgende Kostenfunktion:
K(a,b)=2a+8b

Die Produktionsformel lautet:
[mm] x(a,b)=a^{2}-8a+b^{2}-6b+30 [/mm]

Zu ermitteln ist die Minimalkostenkombination für eine Produktionsmenge von x=9.

Gut, also das ist mein Ansatz:

[mm] L(a,b,\lambda)=2a+8b+\lambda(a^{2}-8a+b^{2}-6b+21) [/mm]

Jetzt geht es ans Ableiten:
[mm] L(a,b,\lambda)/da=2+2\lambda a-8\lambda [/mm]
[mm] ->\lambda=-1/(a-4) [/mm]

[mm] L(a,b,\lambda)/db=8+2\lambda b-6\lambda [/mm]
[mm] ->\lambda=-4/(b-3) [/mm]

->b=4a-13

[mm] L(a,b,\lambda)/d\lambda=a^{2}-8a+b^{2}-6b+21 [/mm]

Diese Ableitung setze ich nun Null und ersetze b durch 4a-13:
[mm] a^{2}-8a+16a^{2}-104a+169-24a+78+21=0 [/mm]
[mm] a^{2}-8a+268/17=0 [/mm]

Jetzt habe ich aber zwei Lösungswerte; zum Einen a1=4,49 , zum Anderen a2=3,51

Welcher Wert ist jetzt aber der richtige?

Danke für die Hilfe!

        
Bezug
Lagrange: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Mo 19.09.2011
Autor: Adamantin


> Guten Abend,
>  diese Aufgabe bereitet mir einiges Kopfzerbrechen und ich
> hoffe, dass mir jemand helfen kann. Vielen Dank schon im
> Voraus!
>  
> Also, die Aufgabenstellung lautet:
>  Für eine bestimmte Produktionsmenge soll die
> kostengünstigste Faktoreinsatzmengenkombination ermittelt
> werden. Es gibt die folgende Kostenfunktion:
>  K(a,b)=2a+8b
>  
> Die Produktionsformel lautet:
>  [mm]x(a,b)=a^{2}-8a+b^{2}-6b+30[/mm]
>  
> Zu ermitteln ist die Minimalkostenkombination für eine
> Produktionsmenge von x=9.
>  
> Gut, also das ist mein Ansatz:
>  
> [mm]L(a,b,\lambda)=2a+8b+\lambda(a^{2}-8a+b^{2}-6b+21)[/mm]
>  
> Jetzt geht es ans Ableiten:
>  [mm]L(a,b,\lambda)/da=2+2\lambda a-8\lambda[/mm]
>  
> [mm]->\lambda=-1/(a-4)[/mm]
>  
> [mm]L(a,b,\lambda)/db=8+2\lambda b-6\lambda[/mm]
>  
> [mm]->\lambda=-4/(b-3)[/mm]
>  
> ->b=4a-13
>  
> [mm]L(a,b,\lambda)/d\lambda=a^{2}-8a+b^{2}-6b+21[/mm]
>  
> Diese Ableitung setze ich nun Null und ersetze b durch
> 4a-13:
>  [mm]a^{2}-8a+16a^{2}-104a+169-24a+78+21=0[/mm]
>  [mm]a^{2}-8a+268/17=0[/mm]
>  
> Jetzt habe ich aber zwei Lösungswerte; zum Einen a1=4,49 ,
> zum Anderen a2=3,51
>  
> Welcher Wert ist jetzt aber der richtige?
>  
> Danke für die Hilfe!

Unabhängig von deiner Rechnung, die du gegebenenfalls bitte nochmal selbst überprüfst (die Ableitungen waren korekt, soweit bin ich gekommen ;) ), gebe ich dir folgenden Satz aus meiner Mathe-Vorlesung:

Seien f,g [mm] $\in C^1 (\IR^n, \IR)$ [/mm] (also stetig partiell differenzierbar bis zur 1. Ordnung) mit $D(f) [mm] \subseteq [/mm] D(g) [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] und sei a [mm] \in [/mm] D(f) eine Lösung von min f(x) bzw. max f(x) unter der Nebenbedingung g(x)=0, mit  $grad g(x) [mm] \not= [/mm] 0$. Dann existiert ein [mm] $\lambda \in \IR$, [/mm] so dass
$grad \  [mm] f(a)+\lambda \cdot [/mm] grad \ g(a)=0$.

Sprich, wenn es eine Lösung gibt, so liefert die Langrange-Multiplikatormethode diese Lösung. Da jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge ein Minimum und Maximum annimmt, macht es doch Sinn, dass Lagrange dir ein Min und ein Max liefert. Also musst du alle Lösungen, die du mithilfe von Lagrange ermittelt hast, immer noch in f(x) (bei dir K(a,b)) einsetzten und deren Werte überprüfen. Der größere ist der Maximalwert ;). Also einfach einsetzten und der Maximalwert bzw. die Maximalstelle ist dann die, bei der auch K maximal wird. Oder alternativ den Umweg über zweite Ableitung...

PS: Und ich glaube, in einem Forum für Mathematik 8-10 Klasse hat das hier nichts verloren *g*


Bezug
                
Bezug
Lagrange: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:46 So 23.10.2011
Autor: SineNomine

Vielen, vielen Dank für die Hilfe!!!

Bezug
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