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Lagrange - Interpolation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 Di 28.01.2020
Autor: Steve96

Aufgabe
Aufgabe 1


Für verschiedene Orte wurde an einem bestimmten Tag die Tageslänge gemessen:


Ort    Tageslänge       Lage


A       17 h 28 m       55, 7 Grad

B       18h 00m         57, 7 Grad

C       18h 31m         59, 3 Grad

D      19h 56m         62, 6 Grad

E      22 h 34m         65, 6 Grad



Man vestimme die Tageslänge am Ort $F$ bei $61, 7$ Grad durch Auswertung des zugehörigen Interpolationspolynoms mit Hilfe des Neville - Algorithmus.
(Es genügt $4$ - stellige Dezimalrechnung)





Aufgabe 2



Es soll eine $10$ stellige Wertetabelle von $f(x) = [mm] \int_{0}^{x} sin(t)^{2} [/mm] dt$, $x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \pi]$ [/mm] erstellt werden (in Festkommadarstellung), so daß kubische Lagrange-Interpolation einen Fehler kleiner als $5 [mm] \cdot 10^{-9}$ [/mm] für jeden Wert von $x$ im Intervall $[0, [mm] \pi]$ [/mm] ergibt.

Reichen dazu die Werte zu 250 äquidistant verteilten Stützstellen aus ?



(Hinweis: Der Auswertungsfehler setzt sich zusammen aus dem absoluten Interpolationsfehler und dem absoluten
Rundungsfehler in den zur Interpolation verwendeten Stützwerten.)

[16:21, 28.1.2020] Piero: Hallo. Zu Übungszwecken für die Klausur in einer Woche rechne ich ein paar Aufgaben aus dem Skript https://ganymed.math.uni-heidelberg.de/~lehre/notes/num0/numerik0.pdf  (Seite 74) durch.

Doch leider ist das nicht so einfach für mich, wie ich mir das vorgestellt habe. Ich habe bei einer Aufgabe eine Idee und bei einer anderen keine. Daher bräuchte ich euren Rat zu den obigen Aufgaben.

Ansatz zu 1)



Ich habe mir da gedacht, dass ich die Werte bei "Lage" als Stützpunkte für das Interpolationspolynom nehme und die Daten bei "Tageslänge" sind die dazugehörigen $y$ - Werte.

Das heißt, ich habe die Daten:



[mm] $P_{0} [/mm] = (55.7, [mm] 17h\;28 [/mm] m)$

[mm] $P_{1} [/mm] = (57.7, [mm] 18h\;00 [/mm] m)$

[mm] $P_{2} [/mm] = (59.3, [mm] 18h\;31 [/mm] m)$

[mm] $P_{3} [/mm] = (62.6, [mm] 19h\;56 [/mm] m)$

[mm] $P_{4} [/mm] = (65. 6, [mm] 22h\;34 [/mm] m)$



Ich interpoliere diese Punkte und erhalte eine Polynom $p(x)$ vom Grad kleiner gleich $4$.


Um nun die Tageslänge am Ort $F$ bei $61, 7$ Grad zu bestimmen, berechne ich dann einfach $p(61, 7 Grad)$.

Ist das so richtig ?





Ansatz zu 2)


Das ist kein Ansatz, aber ich schreibe es trotzdem hin, um die Gliederung zu behalten.


Hier weiß ich nicht wirklich weiter. Wir haben eine Funktion

$f(x) = [mm] \int_{0}^{x} sin(t)^{2} [/mm] dt = - [mm] \frac{sin(2x) - 2x}{4}$ [/mm] mit $x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \pi]$. [/mm]

Und nun will ich diese Funktion durch eine kubisches Lagrangepolynom zu approximieren, so dass jeder Funktionswert von $f(x)$ eine Abstand zum Funktionswert von $p(x)$ kleiner als $5 [mm] \cdot 10^{- 9}$ [/mm] hat. Richtig?


Wie genau stelle ich das an? Wenn ich ein kubisches Polynom haben will, muss ich $4$ Punkte, die die Funktion $f(x)$ annimmt, interpolieren.

Aber dann kann ich natürlich nicht den Fehler so steuern, dass er kleiner ist als $5 [mm] \cdot 10^{- 9}$ [/mm] ist.

Oder wie ist das zu verstehen?



Und wie sieht der Auswertungsfehler aus ?


Ich meine, dass der absolute Interpolationsfehler ist: $f(x) - p(x) = [mm] \frac{f^{(n + 1)}(\theta)}{(n + 1)!} \prod\limits_{j = 0}^{n} [/mm] (x - [mm] x_{j})$ [/mm]

Steht in https://ganymed.math.uni-heidelberg.de/~lehre/notes/num0/numerik0.pdf (Seite 29)


Wie sieht aber der absolute Rundungsfehler in den zur Interpolation verwendeten Stützwerten aus ?



Bin für jede Hilfe dankbar.


lg, Steve

        
Bezug
Lagrange - Interpolation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Di 28.01.2020
Autor: meili

Hallo Steve,

> Aufgabe 1
>  
>
> Für verschiedene Orte wurde an einem bestimmten Tag die
> Tageslänge gemessen:
>  
>
> Ort    Tageslänge       Lage
>  
>
> A       17 h 28 m       55, 7 Grad
>  
> B       18h 00m         57, 7 Grad
>  
> C       18h 31m         59, 3 Grad
>  
> D      19h 56m         62, 6 Grad
>  
> E      22 h 34m         65, 6 Grad
>  
>
>
> Man vestimme die Tageslänge am Ort [mm]F[/mm] bei [mm]61, 7[/mm] Grad durch
> Auswertung des zugehörigen Interpolationspolynoms mit
> Hilfe des Neville - Algorithmus.
>  (Es genügt [mm]4[/mm] - stellige Dezimalrechnung)
>  
>
>
>
>
> Aufgabe 2
>  
>
>
> Es soll eine [mm]10[/mm] stellige Wertetabelle von [mm]f(x) = \int_{0}^{x} sin(t)^{2} dt[/mm],
> [mm]x \in [0, \pi][/mm] erstellt werden (in Festkommadarstellung),
> so daß kubische Lagrange-Interpolation einen Fehler
> kleiner als [mm]5 \cdot 10^{-9}[/mm] für jeden Wert von [mm]x[/mm] im
> Intervall [mm][0, \pi][/mm] ergibt.
>  
> Reichen dazu die Werte zu 250 äquidistant verteilten
> Stützstellen aus ?
>
>
>
> (Hinweis: Der Auswertungsfehler setzt sich zusammen aus dem
> absoluten Interpolationsfehler und dem absoluten
>  Rundungsfehler in den zur Interpolation verwendeten
> Stützwerten.)
>  [16:21, 28.1.2020] Piero: Hallo. Zu Übungszwecken für
> die Klausur in einer Woche rechne ich ein paar Aufgaben aus
> dem Skript
> https://ganymed.math.uni-heidelberg.de/~lehre/notes/num0/numerik0.pdf
>  (Seite 74) durch.
>  
> Doch leider ist das nicht so einfach für mich, wie ich mir
> das vorgestellt habe. Ich habe bei einer Aufgabe eine Idee
> und bei einer anderen keine. Daher bräuchte ich euren Rat
> zu den obigen Aufgaben.
>  
> Ansatz zu 1)
>  
>
>
> Ich habe mir da gedacht, dass ich die Werte bei "Lage" als
> Stützpunkte für das Interpolationspolynom nehme und die
> Daten bei "Tageslänge" sind die dazugehörigen [mm]y[/mm] - Werte.
>
> Das heißt, ich habe die Daten:
>
>
>
> [mm]P_{0} = (55.7, 17h\;28 m)[/mm]
>  
> [mm]P_{1} = (57.7, 18h\;00 m)[/mm]
>  
> [mm]P_{2} = (59.3, 18h\;31 m)[/mm]
>  
> [mm]P_{3} = (62.6, 19h\;56 m)[/mm]
>  
> [mm]P_{4} = (65. 6, 22h\;34 m)[/mm]
>  
>
>
> Ich interpoliere diese Punkte und erhalte eine Polynom [mm]p(x)[/mm]
> vom Grad kleiner gleich [mm]4[/mm].
>  
>
> Um nun die Tageslänge am Ort [mm]F[/mm] bei [mm]61, 7[/mm] Grad zu
> bestimmen, berechne ich dann einfach [mm]p(61, 7 Grad)[/mm].
>  
> Ist das so richtig ?

[ok]
Ja, so geht das.

>
>
>
>
>
> Ansatz zu 2)
>  
>
> Das ist kein Ansatz, aber ich schreibe es trotzdem hin, um
> die Gliederung zu behalten.
>  
>
> Hier weiß ich nicht wirklich weiter. Wir haben eine
> Funktion
>  
> [mm]f(x) = \int_{0}^{x} sin(t)^{2} dt = - \frac{sin(2x) - 2x}{4}[/mm]
> mit [mm]x \in [0, \pi][/mm].
>  
> Und nun will ich diese Funktion durch eine kubisches
> Lagrangepolynom zu approximieren, so dass jeder
> Funktionswert von [mm]f(x)[/mm] eine Abstand zum Funktionswert von
> [mm]p(x)[/mm] kleiner als [mm]5 \cdot 10^{- 9}[/mm] hat. Richtig?
>  
>
> Wie genau stelle ich das an? Wenn ich ein kubisches Polynom
> haben will, muss ich [mm]4[/mm] Punkte, die die Funktion [mm]f(x)[/mm]
> annimmt, interpolieren.
>
> Aber dann kann ich natürlich nicht den Fehler so steuern,
> dass er kleiner ist als [mm]5 \cdot 10^{- 9}[/mm] ist.
>  
> Oder wie ist das zu verstehen?

Ich vermute, das Intervall $[0 , [mm] \pi [/mm] ]$ soll in viele Teilintervalle unterteilt werden,
und dann die Teilintervalle mit den nötigen Stützstellen jeweils mit einem
kubischen Polynom interpolieren.

>  
>
>
> Und wie sieht der Auswertungsfehler aus ?
>  
>
> Ich meine, dass der absolute Interpolationsfehler ist: [mm]f(x) - p(x) = \frac{f^{(n + 1)}(\theta)}{(n + 1)!} \prod\limits_{j = 0}^{n} (x - x_{j})[/mm]
>  
> Steht in
> https://ganymed.math.uni-heidelberg.de/~lehre/notes/num0/numerik0.pdf
> (Seite 29)
>  
>
> Wie sieht aber der absolute Rundungsfehler in den zur
> Interpolation verwendeten Stützwerten aus ?
>
>
>
> Bin für jede Hilfe dankbar.

Gerne nochmal nachfragen bei Unklarheiten

>  
>
> lg, Steve

Gruß
meili

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