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Forum "Funktionen" - Lagrange Interpolation
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Lagrange Interpolation: Polynominterpolation
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:27 Di 01.11.2016
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Bestimmen Sie mit der Lagrange Interpolation ein Polynom mit reellen Koeffizienten, das die folgenden Stützstellen hat:

(-2,-1) (-1,-1) (0,-2) (1,-1) (2,-1)


Hallo,

ich habe das Polynom bereits mit der Newton Interpolation gelöst, aber Lagrange macht mir Probleme.

Wir haben folgende Stützstellen (man achte auf die Indizes)
[mm] P_0(-2,-1), P_1(-1,-1), P_2(0,-2), P_3(1,-1), P_4(2,-1) [/mm]

Wir suchen hier also ein Polynom 4. Grades

Wir brauchen also [mm] L_0 [/mm] , [mm] L_1, L_2, L_3, [/mm] und [mm] L_4 [/mm]

Die "Formel" zur Berechnung lautet :


[mm] \produkt_{k=0}^{n} \bruch{x-x_k}{x_i - x_k} [/mm] mit i [mm] \not= [/mm] k

Ich habe bei [mm] L_4 [/mm] folgendes:

[mm] L_4 [/mm] = [mm] \bruch{ (x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{ (x_4-x_0)(x_4-x_1)(x_4-x_3)} [/mm]

Ist das richtig? Ich glaube nicht.

Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Lagrange Interpolation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:50 Di 01.11.2016
Autor: Salamanderkoenigin

Schönen Tag, pc_doctor!

In deiner Formel für [mm] $L_4$ [/mm] fehlen die Faktoren um [mm] $x_2$. [/mm] Außerdem solltest du noch die vorgegebenen Werte für die [mm] $x_i$ [/mm] einsetzen, um ein konkretes Polynom zu erhalten. Auf dieselbe Weise berechnest du die übrigen Basispolynome. Anschließend kannst du die Lösung des Interpolationsproblems als Linearkombination darstellen und berechnen.

Mathematische Grüße
Die Salamanderprinzessin

Bezug
                
Bezug
Lagrange Interpolation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:22 Mi 02.11.2016
Autor: pc_doctor

Hallo,
danke für die Antwort.

Ich habe es mal noch mal versucht, diese Indizes machen einen echt verrückt:

[mm] L_0(x) [/mm] = [mm] \bruch{ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)(x_0-x_4)} [/mm]

[mm] L_1(x)= \bruch{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)} {(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)} [/mm]

[mm] L_2(x) [/mm] = [mm] \bruch{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)(x-x_4)} {(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)(x_2-x_4)} [/mm]

[mm] L_3(x) [/mm] = [mm] \bruch{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_4)} {(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_4)} [/mm]

[mm] L_4(x)= \bruch {(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)} {(x_4-x_0)(x_4-x_1)(x_4-x_2)(x_4-x_3)} [/mm]

L(x) = [mm] y_0*L_0 [/mm] + [mm] y_1*L_1 [/mm] + [mm] y_2*L_2 [/mm] + [mm] y_3*L_3 [/mm] + [mm] y_4*L_4 [/mm]

Ist bis hierhin alles richtig  ?

Bezug
                        
Bezug
Lagrange Interpolation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:49 Mi 02.11.2016
Autor: DieAcht

Hallo pc_doctor!


> Ist bis hierhin alles richtig  ?

Ja.


Gruß
DieAcht

Bezug
                                
Bezug
Lagrange Interpolation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:03 Mi 02.11.2016
Autor: pc_doctor

Perfekt, danke für die Antworten.

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