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| Aufgabe | | Der Ellipse [mm] x^2 [/mm] + [mm] 9y^2 [/mm] = 9 wird ein Dreieck maximaler Fläche eingeschrieben, dessen eine Seite parallel zur großen Achse der Ellipse ist. Wie groß ist die Dreiecksfläche |
Hallo!
Ich übe gerade für eine Klausur und weiß nicht, ob ich die Aufgabe richtig "angehe"...
Ich arbeite übrigens mit der Laplace Multiplikation für mehrere veränderliche.
Die allgemeine Gleichung der Ellipse ist [mm] x^2 [/mm] / [mm] a^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] / [mm] b^2 [/mm] = 1
daraus folgt, dass a = 3 und b = 1.
Die Fläche für das Dreieck ist gegeben durch:
A = h * c / 2
wobei
c = 2x
hc = y + b = y + 1
nun setze ich das in die Hauptbedingung ein:
A = 2 * x * (x + 1) / 2 = x * (y + 1)
ich muss also x * (y + 1) maximieren
Der Ansatz ist also:
[mm] \phi (x,y,\lambda) [/mm] = x * (y +1 ) + [mm] \lambda(x^2 [/mm] / 9 + [mm] y^2 [/mm] - 1)
[mm] \phi_x [/mm] = y + 1 + [mm] \lambda [/mm] * 2x / 9
[mm] \phi_y [/mm] = x + 2* [mm] \lambda [/mm] * y => x = - 2 [mm] \lambda [/mm] y
[mm] \phi_\lambda [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] / 9 + [mm] y^2 [/mm] - 1)
Nun bekomme ich hier aber komische Werte für [mm] \lambda, [/mm] wenn ich die erste und die zweite Gleichung für die Ermittlung der Werte (x,y) verwende.
Sieht jemand von euch einen Fehler.
Außerdem: Wie unterscheide ich bei dieser Methode zwischen Maximieren und Minimieren?
lg
Babapapa
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> Der Ellipse [mm]x^2[/mm] + [mm]9y^2[/mm] = 9 wird ein Dreieck maximaler
> Fläche eingeschrieben, dessen eine Seite parallel zur
> großen Achse der Ellipse ist. Wie groß ist die
> Dreiecksfläche
Hallo babapapa,
ich sehe für diese Aufgabe einen anderen Lösungsweg,
der fast ohne Rechnung zu schaffen ist. Betrachten wir
die Affinität, welche aus der Ellipse den Kreis [mm] x^2+y^2=9
[/mm]
macht. Flächenverhältnisse bleiben dabei erhalten.
Das größte Dreieck, das in den Kreis passt, ist natürlich
das gleichseitige. Wir legen es so, dass eine Seite
parallel zur x-Achse ist. Die Berechnung der Eckpunkts-
koordinaten ist dann eine einfache Rechnung mit Pytha-
goras oder elementarer Trigonometrie.
LG Al-Chw.
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> Der Ellipse [mm]x^2[/mm] + [mm]9y^2[/mm] = 9 wird ein Dreieck maximaler
> Fläche eingeschrieben, dessen eine Seite parallel zur
> großen Achse der Ellipse ist. Wie groß ist die
> Dreiecksfläche
> Hallo!
>
> Ich übe gerade für eine Klausur und weiß nicht, ob ich
> die Aufgabe richtig "angehe"...
>
> Ich arbeite übrigens mit der Laplace Multiplikation für
> mehrere veränderliche.
>
> Die allgemeine Gleichung der Ellipse ist [mm]x^2[/mm] / [mm]a^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] /
> [mm]b^2[/mm] = 1
> daraus folgt, dass a = 3 und b = 1.
>
> Die Fläche für das Dreieck ist gegeben durch:
> A = h * c / 2
> wobei
> c = 2x
> hc = y + b = y + 1
>
> nun setze ich das in die Hauptbedingung ein:
>
> A = 2 * x * (x + 1) / 2 = x * (y + 1)
>
> ich muss also x * (y + 1) maximieren
>
> Der Ansatz ist also:
> [mm]\phi (x,y,\lambda)= x * (y +1 ) +\lambda(x^2 / 9 +y^2- 1)[/mm]
>
> [mm]\phi_x[/mm] = y + 1 + [mm]\lambda[/mm] * 2x / 9
> [mm]\phi_y[/mm] = x + 2* [mm]\lambda[/mm] * y => x = - 2 [mm]\lambda[/mm] y
> [mm]\phi_\lambda[/mm] = [mm](x^2[/mm] / 9 + [mm]y^2[/mm] - 1)
>
> Nun bekomme ich hier aber komische Werte für [mm]\lambda,[/mm] wenn
> ich die erste und die zweite Gleichung für die Ermittlung
> der Werte (x,y) verwende.
> Sieht jemand von euch einen Fehler.
>
> Außerdem: Wie unterscheide ich bei dieser Methode zwischen
> Maximieren und Minimieren?
>
> lg
> Babapapa
Ich hab mir jetzt deine Rechnung angeschaut. Einen
Fehler sehe ich bisher nicht. Du hättest dir aber z.B.
die Brüche in der Rechnung leicht ersparen können.
Setze dazu einfach
[mm]\phi (x,y,\lambda)= x * (y +1 ) +\lambda(x^2 +9\,y^2- 9)[/mm]
Was waren denn die "komischen" Werte für [mm] \lambda [/mm] ?
Gruß Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 So 18.10.2009 | | Autor: | babapapa |
Hallo!
also ich komme auf:
[mm] \phi_x [/mm] = [mm] 2x\lambda [/mm] +y + 1
[mm] \phi_y [/mm] = [mm] 18y\lambda [/mm] + x
[mm] \phi_\lambda [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] 9y^2 [/mm] - 9
aus [mm] \phi_y [/mm] ergibt sich x = -18 [mm] \lambda [/mm] y
in [mm] \phi_x [/mm] eingesetzt ergibt das:
[mm] 2(-18\lambda [/mm] y) [mm] \lambda [/mm] + y + 1 = 0
-36 [mm] \lambda^2 [/mm] y + y + 1 = 0
36 [mm] \lambda^2 [/mm] y = y + 1
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{y+1}{36y}}
[/mm]
das sieht für mich etwas komisch aus...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 So 18.10.2009 | | Autor: | babapapa |
Hallo!
Also ich bekomme jetzt folgendes heraus:
y = [mm] \bruch{-1}{1-36\lambda^2}
[/mm]
x = [mm] \bruch{-36\lambda}{72 \lambda^2 - 2}
[/mm]
das in [mm] x^2 [/mm] + [mm] 9y^2 [/mm] -9 = 0 einsetzen ergibt:
[mm] \lambda_1 [/mm] = 0
[mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] -\wurzel{3}/6
[/mm]
[mm] \lambda_3 [/mm] = [mm] \wurzel{3}/6
[/mm]
für [mm] \lambda [/mm] = 0
ergibt sich y = -1 und x = 0. für diese Werte gilt auch die Nebenbedingung
ich hoffe ich hab mich nicht verrechnet.
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> Hallo!
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> Also ich bekomme jetzt folgendes heraus:
>
> y = [mm]\bruch{-1}{1-36\lambda^2}[/mm]
> x = [mm]\bruch{-36\lambda}{72 \lambda^2 - 2}[/mm]
>
> das in [mm]x^2[/mm] + [mm]9y^2[/mm] -9 = 0 einsetzen ergibt:
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = 0
> [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]-\wurzel{3}/6[/mm]
> [mm]\lambda_3[/mm] = [mm]\wurzel{3}/6[/mm]
>
> für [mm]\lambda[/mm] = 0
> ergibt sich y = -1 und x = 0. für diese Werte gilt auch
> die Nebenbedingung
>
>
> ich hoffe ich hab mich nicht verrechnet.
Du solltest dich aber auch um die anderen Lösungen und
die entsprechenden x- und y-Werte kümmern und dann
prüfen, welche Dreiecke maximalen Flächeninhalt haben.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 20.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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