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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Mo 23.04.2007 | | Autor: | zippo168 |
| Aufgabe | | Warum gilt: [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] Li(x)=1 |
ich habe zuerst angenommen das es sich alles wegkürzt, stimmt auch teilweise in der rechnung funktioniert auch...jedoch ist die Frage warum es gilt das die Summe Li (L0+ L1+ L2+.....+ Ln=0) ich suche nach einer logischen und verständlichen erklärung.....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Mo 23.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Warum gilt: [mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm] Li(x)=1
> ich habe zuerst angenommen das es sich alles wegkürzt,
> stimmt auch teilweise in der rechnung funktioniert
> auch...jedoch ist die Frage warum es gilt das die Summe Li
> (L0+ L1+ L2+.....+ Ln=0) ich suche nach einer logischen und
> verständlichen erklärung.....
Du hast leider nicht dabei geschrieben, was [mm] $L_i(x)$ [/mm] sein soll. Ich vermute mal das $i$-te Lagrange-Polynom zu den (paarweise verschiedenen) Stuetzstellen [mm] $x_0, \dots, x_n$, [/mm] also [mm] $L_i(x) [/mm] = [mm] \prod_{j = 1 \atop j \neq i}^n \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$. [/mm] Dann gilt [mm] $L_i(x_j) [/mm] = 0$ fuer $i [mm] \neq [/mm] j$ und [mm] $L_i(x_i) [/mm] = 1$.
Nun ist [mm] $\deg L_i [/mm] = n$ fuer jedes $i$, womit [mm] $\deg \sum_{i=0}^n L_i \le [/mm] n$ ist; also ist $f(x) := [mm] \sum_{i=0}^n L_i(x)$ [/mm] ein Polynom von Grad [mm] $\le [/mm] n$. Jetzt gilt [mm] $f(x_i) [/mm] = 1$ fuer $i = 0, [mm] \dots, [/mm] n$, womit das Polynom $f(x) - 1$ mindestens $n + 1$ verschiedene Nullstellen hat und Grad [mm] $\le [/mm] n$ hat. Was folgt daraus?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mo 23.04.2007 | | Autor: | zippo168 |
ich kann also so argummentieren: da das polynom n+1 nullstellen und n-ten grades ist ist die summe der nullstellen gleich 1 ist? oder
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> ich kann also so argummentieren: da das polynom n+1
> nullstellen und n-ten grades ist ist die summe der
> nullstellen gleich 1 ist? oder
Hallo,
nein, so kannst Du nicht argumentieren.
Du solltest drüber nachdenken bzw. Dich informieren, wieviele Nullstellen vom Nullpolynom verschiedene Polynome vom grad n haben können.
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:56 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Igor1 |
Polynom vom Grad <= n muss hoechstens n verschiedene Nullstellen haben.
Ich wuerde insgesamt daraus folgern:
da das Polynom mehr als n Nullstellen hat, dann muss das Polynom ausser der n verschiedenen Nullstellen auch noch mehrfache Nullstellen haben. Das wuerde dann aber bedeuten, dass zu jeder solchen mehrfachen Nullstelle m ein i aus 0,...,n
gibt so dass [mm] x_i [/mm] = m.
Also, das Polynom f(x)-1=0 hat in x's alle seine Nullstellen und diese Nullstellen sind entweder die [mm] x_i [/mm] 's oder mehrfache Nullstellen, die gleich [mm] x_i [/mm] sind.
Deshalb muss fuer jedes x die Summe der [mm] L_i [/mm] 's gleich 1 sein.
Ist das ok so ?
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 15.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:41 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
wie kann ein Polynom vom Grade <= n mindestens n+1 verschiidene Nullstellen haben?
Ein Polynom vom Grade <= n hat höchstens n verschiedene Nullstellen , oder?
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 15.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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