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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Lagrange optimale Menge
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Lagrange optimale Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:04 Fr 24.05.2019
Autor: hase-hh

Aufgabe
Gegeben ist die Produktionsfunktion

x = [mm] f(r_1, r_2) [/mm] = [mm] 10*r_1^{0,9}*r_2^{0,1} [/mm] mit

x: Menge des Endproduktes
[mm] r_1, r_2 \ge [/mm] 0 Menge der Produktionsfaktoren.

Eine ME [mm] r_1 [/mm] kostet 4,5 GE, eine ME [mm] r_2 [/mm] kostet 1 GE.

Bestimmen Sie mit Hilfe des Lagrange-Verfahrens die optimalen Einsatzmengen der Produktionsfaktoren, wenn die Kosten 100 GE betragen sollen und die Produktionsmenge maximiert werden soll.

[nur notwendige Bedingung!]

Interpretieren Sie außerdem den Wert des Lagrange-Parameters.

Moin Moin,

1. Nebenbedingung aufstellen
    [mm] 4,5*r_1 [/mm] + [mm] r_2 [/mm] = 100

2. Lagrange-Funktion aufstellen

L = [mm] 10*r_1^{0,9}*r_2^{0,1} [/mm] - [mm] \lambda*(4,5*r_1 [/mm] + [mm] r_2 [/mm] - 100)

3. partielle Ableitungen bilden und diese null setzen

I.   [mm] \bruch{dL}{dr_1} [/mm] = [mm] 9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1} [/mm] - [mm] 4,5*\lambda [/mm] = 0

II.  [mm] \bruch{dL}{dr_2} [/mm] = [mm] r_1^{0,9}*r_2^{-0,9} [/mm] - [mm] \lambda [/mm] = 0

III. [mm] \bruch{dL}{d\lambda} [/mm] = [mm] 4,5*r_1 [/mm] + [mm] r_2 [/mm] - 100 = 0

4. Das Gleichungssystem lösen

-4,5*II. + I.

[mm] -4,5*r_1^{0,9}*r_2^{-0,9} [/mm] + [mm] 9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1} [/mm] = 0

[mm] 4,5*r_1^{0,9}*r_2^{-0,9} [/mm] = [mm] 9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1} [/mm]  |  [mm] *r_2^{0,9} *r_1^{0,1} [/mm]

[mm] 4,5*r_1^{0,9}*r_2^{-0,9}*r_2^{0,9}*r_1^{0,1} [/mm]  = [mm] 9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1}*r_2^{0,9}*r_1^{0,1} [/mm]


[mm] 4,5*r_1 [/mm] = [mm] 9*r_2 [/mm]  

[mm] r_1 [/mm] = [mm] 2*r_2 [/mm]  


in III. einsetzen

[mm] 4,5*2*r_2 [/mm] + [mm] r_2 [/mm] - 100 = 0

[mm] r_2 [/mm] = 10   =>   [mm] r_1 [/mm] = 20

II.
[mm] \lambda [/mm] = [mm] r_1^{0,9}*r_2^{-0,9} [/mm]
[mm] \lambda [/mm] = [mm] 20^{0,9}*10^{-0,9} [/mm]

[mm] \lambda [/mm] = 1,866

x = f(20;10) = [mm] 10*20^{0,9}*10^{0,1} [/mm]

x= 186,61


richtig?


Wie soll ich aber nun den Wert von [mm] \lambda [/mm] interpretieren? Keine Ahnung!



        
Bezug
Lagrange optimale Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 Fr 24.05.2019
Autor: fred97


> Gegeben ist die Produktionsfunktion
>  
> x = [mm]f(r_1, r_2)[/mm] = [mm]10*r_1^{0,9}*r_2^{0,1}[/mm] mit
>
> x: Menge des Endproduktes
> [mm]r_1, r_2 \ge[/mm] 0 Menge der Produktionsfaktoren.
>  
> Eine ME [mm]r_1[/mm] kostet 4,5 GE, eine ME [mm]r_2[/mm] kostet 1 GE.
>  
> Bestimmen Sie mit Hilfe des Lagrange-Verfahrens die
> optimalen Einsatzmengen der Produktionsfaktoren, wenn die
> Kosten 100 GE betragen sollen und die Produktionsmenge
> maximiert werden soll.
>
> [nur notwendige Bedingung!]
>  
> Interpretieren Sie außerdem den Wert des
> Lagrange-Parameters.
>  Moin Moin,
>  
> 1. Nebenbedingung aufstellen
> [mm]4,5*r_1[/mm] + [mm]r_2[/mm] = 100
>
> 2. Lagrange-Funktion aufstellen
>  
> L = [mm]10*r_1^{0,9}*r_2^{0,1}[/mm] - [mm]\lambda*(4,5*r_1[/mm] + [mm]r_2[/mm] - 100)
>
> 3. partielle Ableitungen bilden und diese null setzen
>  
> I.   [mm]\bruch{dL}{dr_1}[/mm] = [mm]9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1}[/mm] -
> [mm]4,5*\lambda[/mm] = 0
>  
> II.  [mm]\bruch{dL}{dr_2}[/mm] = [mm]r_1^{0,9}*r_2^{-0,9}[/mm] - [mm]\lambda[/mm] = 0
>  
> III. [mm]\bruch{dL}{d\lambda}[/mm] = [mm]4,5*r_1[/mm] + [mm]r_2[/mm] - 100 = 0
>  
> 4. Das Gleichungssystem lösen
>  
> -4,5*II. + I.
>  
> [mm]-4,5*r_1^{0,9}*r_2^{-0,9}[/mm] + [mm]9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1}[/mm] = 0
>
> [mm]4,5*r_1^{0,9}*r_2^{-0,9}[/mm] = [mm]9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1}[/mm]  |  
> [mm]*r_2^{0,9} *r_1^{0,1}[/mm]
>
> [mm]4,5*r_1^{0,9}*r_2^{-0,9}*r_2^{0,9}*r_1^{0,1}[/mm]  =
> [mm]9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1}*r_2^{0,9}*r_1^{0,1}[/mm]
>
>
> [mm]4,5*r_1[/mm] = [mm]9*r_2[/mm]  
>
> [mm]r_1[/mm] = [mm]2*r_2[/mm]  
>
>
> in III. einsetzen
>  
> [mm]4,5*2*r_2[/mm] + [mm]r_2[/mm] - 100 = 0
>  
> [mm]r_2[/mm] = 10   =>   [mm]r_1[/mm] = 20

>
> II.
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]r_1^{0,9}*r_2^{-0,9}[/mm]
>  [mm]\lambda[/mm] = [mm]20^{0,9}*10^{-0,9}[/mm]
>  
> [mm]\lambda[/mm] = 1,866
>
> x = f(20;10) = [mm]10*20^{0,9}*10^{0,1}[/mm]
>
> x= 186,61
>
>
> richtig?

Ja, alles richtig

>
>
> Wie soll ich aber nun den Wert von [mm]\lambda[/mm] interpretieren?
> Keine Ahnung!

Ich machs mal mit x und y und variabler Nebenbedingung: fassen wir die Lagrange- Funktion auch noch als Funktion von c auf:

$L(x,y, [mm] \lambda; [/mm] c)=f(x,y)+ [mm] \lambda [/mm] (c-g(x,y)).$

Dann ist $ [mm] \frac{\partial L}{\partial c}= \lambda.$ [/mm]

[mm] \lambda [/mm]  gibt also an, wie sich das Max/Min ändert, wenn die Konstante $c$ in der Nebenbedingung $g(x,y)= c$ verändert wird.


>  
>  


Bezug
                
Bezug
Lagrange optimale Menge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:08 Fr 24.05.2019
Autor: hase-hh

Alles klar!   Vielen Dank !!!

Bezug
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