Lagrange'sche Multiplikatoren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Di 05.10.2010 | | Autor: | babsbabs |
Hallo,
Ich habe eine Frage zur Anwendung der Lagrange'schen Multiplikatoren:
Ich habe in meinem Buch folgenden allgemeinen Fall gefunden:
F(x, [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{1}) [/mm] = f(x) - [mm] \summe_{j=1}^{m}\lambda_{j}g_{j}(x)
[/mm]
Ich habe jedoch auch einige gelöste Beispiele gefunden, wo die Nebenbedingung addiert wird - also in etwa nach dieser Bauart:
F(x, [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{1}) [/mm] = f(x) + [mm] \summe_{j=1}^{m}\lambda_{j}g_{j}(x)
[/mm]
Ich verstehe nicht ganz, wann ich den Term mit der Nebenbedingung addieren und wann subtrahieren muss - ich bitte um eine kurze Erklärung!
Danke!
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Hallo babsbabs,
hilft Dir Folgendes weiter?
[mm] $g_j(x) [/mm] = 0 = [mm] -g_j(x)$
[/mm]
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Mi 06.10.2010 | | Autor: | babsbabs |
Habe mir jetzt 2 Bsp. rausgesucht:
Bsp 1: Berechnen Sie mit Hilfe der Lagrange'schen Multiplikatoren den maximalen Wert von 3x + 2y unter der Nebenbedinung: x + [mm] y^2 [/mm] = 0
Ansatz: [mm] F(x,y,\lambda) [/mm] = 3x + 2y - [mm] \lambda(x [/mm] + [mm] y^2)
[/mm]
Bsp.: Man bestimme zu einer Kugel einen eingschriebenen Zylinder maximaler Größe:
Ansatz: [mm] F(r,h,\lambda) [/mm] = [mm] r^2 \pi [/mm] h + [mm] \lambda(\bruch{h^2}{2}+r^2-R^2)
[/mm]
(Hab nur einen Teil aus den Beispielen angegeben, um zu zeigen was ich daran nicht ganz verstehe).
Mir ist dabei eben nicht ganz klar, warum ich einmal die Nebenbedingung * [mm] \lambda [/mm] abziehe und einmal zur Hauptbedingung addiere.
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Hallo babsbabs,
deine Verwirrung kommt daher, dass das Addieren bzw. Substrahieren nicht der eigentliche Kern der Methode nach Lagrange ist.
Bei dieser Methode sucht (vereinfacht ausgedrückt) man Stellen, an denen die Gradientenvektoren von Funktion und Nebenbedingung linear abhängig sind. Diese Stellen sind dann Kandidaten für Extrema, d.h. sogenannte kritische Stellen bezüglich der gestellten Extremwertaufgabe.
Wenn wir nun den Gradienten [mm] $\vec{\nabla}f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$ [/mm] der Funktion und den Gradienten [mm] $\vec{\nabla}n=(\frac{\partial n}{\partial x},\frac{\partial n}{\partial y})$ [/mm] der Nebenbedingung über die Gleichung [mm] $\vec{\nabla}f=$\lambda\vec{\nabla}n$ [/mm] vergleichen, dann erhält man zwei die Gleichungen
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x}=\lambda\cdot\frac{\partial n}{\partial x}$
[/mm]
und
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x}=\lambda\cdot\frac{\partial n}{\partial x}$.
[/mm]
Umstellen liefert die Methode mit dem Abziehen. Hättest du am Anfang auf der rechten Seite mit [mm] $-\lambda$ [/mm] angesetzt, dann kämst du auf die Variante mit dem Dazuzählen.
Für die endgültige Lösung ist das aber nicht relevant, weil [mm] $\lambda$ [/mm] nur eine Hilfsvariable ist. Wenn bei der Subtraktionsvariante als Zwischenergebnis [mm] $\lambda=5$ [/mm] rauskommt, dann würde man bei der Additionsvarante [mm] $\lambda=-5$ [/mm] erhalten. Das eine Mal zieht man 5 ab, beim anderen Mal zählt man -5 dazu.
Beides ist dasselbe. Deshalb kannst du beide Lösungsvarianten gleichberechtigt nebeneinander verwenden. Du darfst nur innerhalb eines Lösungsweges nicht wechseln, das käme sonst einem Vorzeichenfehler gleich. 
Liebe Grüße
Hugo
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Hallo babsbabs,
nehmen wir Dein erstes Beispiel. Wenn Du behauptest, dass $x + [mm] y^2 [/mm] = 0$ die Nebenbedingung ist, dann behaupte ich, dass $-(x + [mm] y^2) [/mm] = 0$ die Nebenbediungung ist! Addierst Du jetzt die mit [mm] \lambda [/mm] multiplizierte Nebenbedingung oder subtrahierst Du sie? Oder anders ausgedrückt: Addierst Du $0$ oder subtrahierst Du $0$?
LG mathfunnel
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