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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Lagrangeansatz
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Lagrangeansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:01 So 12.06.2011
Autor: sh4nks

Aufgabe
Finden Sie den kleinsten und den größten Wert der Funktion f(x,y)= [mm] 4x^{2} [/mm] - 3xy

unter der Nebenbedingung [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} \le [/mm] 1


Hallo zusammen,

mein Ansatz wäre:

(1) [mm] \bruch{\delta f}{\delta x}: [/mm] 8x - 3 + [mm] 2x\lambda [/mm]

(2) [mm] \bruch{\delta f}{\delta y}: [/mm] -3x + [mm] 2y\lambda [/mm]

(3) [mm] \bruch{\delta f}{\delta \lambda}: x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] -1 [mm] \le [/mm] 0

Man hat 3 Gleichungen und 3 Unbekannte. Ich würde jetzt (1) nach [mm] \lambda [/mm] auflösen, dann (2) nach y, das dann in (3) einsetzen.

Passt das so? Gehe ich mit dem Ungleichheitszeichen richtig um? Weitere Rechnung:


(1) [mm] \lambda [/mm] = -4 + [mm] \bruch{3}{2x} [/mm]
(2)y = [mm] \bruch{3x^{2}}{3- 8x} [/mm]

(3) [mm] x^{2} [/mm] + [mm] {(\bruch{3x^{2}}{3- 8x})}^2 [/mm] -1 [mm] \le [/mm] 0

        
Bezug
Lagrangeansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 So 12.06.2011
Autor: MathePower

Hallo sh4nks,

> Finden Sie den kleinsten und den größten Wert der
> Funktion f(x,y)= [mm]4x^{2}[/mm] - 3xy
>  
> unter der Nebenbedingung [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2} \le[/mm] 1
>  Hallo zusammen,
>  
> mein Ansatz wäre:
>  
> (1) [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}:[/mm] 8x - 3 + [mm]2x\lambda[/mm]


Hier fehlt ein "y:

(1) [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}:8x - 3 \blue{y}+ 2x\lambda[/mm]


>  
> (2) [mm]\bruch{\delta f}{\delta y}:[/mm] -3x + [mm]2y\lambda[/mm]
>  
> (3) [mm]\bruch{\delta f}{\delta \lambda}: x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] -1 [mm]\le[/mm]
> 0
>  
> Man hat 3 Gleichungen und 3 Unbekannte. Ich würde jetzt
> (1) nach [mm]\lambda[/mm] auflösen, dann (2) nach y, das dann in
> (3) einsetzen.


Gleichungen sind das keine.

Um Gleichungen daraus zu machen
muss überall ein "= 0" am Schlusss stehen,
bzw. bei (3) statt "[mm]\le[/mm]" das Gleichheitszeichen.

3 Gleichungen hast Du nur auf dem Kreis.

Im Inneren des Kreises hast Du nur 2 Gleichungen,
mußt dann aber prüfen, ob die so erhalten Extermwerte
auch im Inneren des Kreises liegen.


>  
> Passt das so? Gehe ich mit dem Ungleichheitszeichen richtig
> um? Irgendwie kommen komplizierte Terme raus..
>  


Gruss
MathePower  

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Bezug
Lagrangeansatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:38 So 12.06.2011
Autor: sh4nks

Danke! Die rechten Gleichungsseiten habe ich vergessen, weil ich wegen der Eingabeformeln die Übersicht verloren habe.

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Bezug
Lagrangeansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 So 12.06.2011
Autor: sh4nks

Also für das Kreisinnere habe ich:

(1) 8x -3y =0
(2) -3x = 0 => Betrachte Punkt (0/0)

Gibt es ein geschicktes Vorgehen, um Extrema für den Rand zu bestimmen? Die Gleichung [mm] x^{2} +\bruch{x^{2}}{8x-3} [/mm] = 1 scheint mir etwas zu kompliziert zu sein...



Bezug
                        
Bezug
Lagrangeansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:27 So 12.06.2011
Autor: MathePower

Hallo sh4nks,

> Also für das Kreisinnere habe ich:
>  
> (1) 8x -3y =0
>  (2) -3x = 0 => Betrachte Punkt (0/0)

>  
> Gibt es ein geschicktes Vorgehen, um Extrema für den Rand
> zu bestimmen? Die Gleichung [mm]x^{2} +\bruch{x^{2}}{8x-3}[/mm] = 1
> scheint mir etwas zu kompliziert zu sein...
>


Dann poste mal Deine Rechenschritt bis dahin.


Gruss
MathePower  

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Lagrangeansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 So 12.06.2011
Autor: sh4nks

Also:

(1) 8x -3y [mm] +2\lambda [/mm] x = 0
(2) -3x + [mm] 2\lambda [/mm] y = 0  => [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{3x}{2y} [/mm]
(3) [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - 1 = 0

(4):(2) in (1): 8x - 3y + [mm] \bruch{3x^{2}}{y} [/mm] = 0

(4) mit y multiplizieren: [mm] 3x^{2} [/mm] + 8 xy - [mm] 3y^{2} [/mm] = 0
faktorisieren:(3x - y)(x + 3y) = 0

also (a) x = [mm] \bruch{1}{3}y [/mm] oder (b) x = -3y

Einsetzen:
[mm] (a)y^{2} [/mm] = [mm] \bruch{9}{10} [/mm]

(b) [mm] y^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{10} [/mm]

Durch Quadrate jeweils zwei Lösungen. Die dann einsetzen um x zu bekommen und mit Hilfe von Hessematrix oder Monotonietabelle auf die Art des Extremums prüfen.

Passts so? :)




Bezug
                                        
Bezug
Lagrangeansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 So 12.06.2011
Autor: MathePower

Hallo sh4nks,

> Also:
>  
> (1) 8x -3y [mm]+2\lambda[/mm] x = 0
>  (2) -3x + [mm]2\lambda[/mm] y = 0  => [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{3x}{2y}[/mm]

>  (3) [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] - 1 = 0
>  
> (4):(2) in (1): 8x - 3y + [mm]\bruch{3x^{2}}{y}[/mm] = 0
>  
> (4) mit y multiplizieren: [mm]3x^{2}[/mm] + 8 xy - [mm]3y^{2}[/mm] = 0
>  faktorisieren:(3x - y)(x + 3y) = 0
>  
> also (a) x = [mm]\bruch{1}{3}y[/mm] oder (b) x = -3y
>  
> Einsetzen:
>  [mm](a)y^{2}[/mm] = [mm]\bruch{9}{10}[/mm]
>  
> (b) [mm]y^{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{10}[/mm]
>  
> Durch Quadrate jeweils zwei Lösungen. Die dann einsetzen
> um x zu bekommen und mit Hilfe von Hessematrix oder
> Monotonietabelle auf die Art des Extremums prüfen.
>  
> Passts so? :)
>  


Ja. [ok]


Guss
MathePower

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