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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Lagrangefunktion
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Lagrangefunktion: Gleichungssysteme lösen
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:05 Sa 26.07.2008
Autor: eldanielo

Aufgabe
Bestimmen sie mit Hilfe von Lagrange alle relativen Extrema von folgender Funktion:
f(x,y) = xy
unter der Nebenbedingung: [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] =1

Hey,

tut mir leid dass ich euch hier mit Fragen bombadiere, habe nur gestern ne Menge gerechnet und habe mir alle Fragen notiert um die heute euch zu stellen. ;-)

Wenn man die Lagrange funktion ableitet nach x,y und [mm] \lambda [/mm] erhält man die 3 folgenden Gleichungssysteme:

(I) y + [mm] \lambda [/mm] x = 0
(II) x + 2y [mm] \lambda [/mm] = 0
(III)  [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - 1 = 0

Leider Gottes kriege ich beim auflösen der Gleichungen nur vollkommenen Müll raus. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

Vielen dank schonmal!
eldanielo

        
Bezug
Lagrangefunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:12 Sa 26.07.2008
Autor: angela.h.b.


> Bestimmen sie mit Hilfe von Lagrange alle relativen Extrema
> von folgender Funktion:
>  f(x,y) = xy
>  unter der Nebenbedingung: [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] =1
>  Hey,
>  
> tut mir leid dass ich euch hier mit Fragen bombadiere, habe
> nur gestern ne Menge gerechnet und habe mir alle Fragen
> notiert um die heute euch zu stellen. ;-)
>  
> Wenn man die Lagrange funktion ableitet nach x,y und
> [mm]\lambda[/mm] erhält man die 3 folgenden Gleichungssysteme:
>  
> (I) y + [mm]\lambda[/mm] x = 0
>  (II) x + 2y [mm]\lambda[/mm] = 0
>  (III)  [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] - 1 = 0
>  
> Leider Gottes kriege ich beim auflösen der Gleichungen nur
> vollkommenen Müll raus. Kann mir da jemand auf die Sprünge
> helfen?

Hallo,

dann zeig doch mal, was Du zum Auflösen der Gleichungen unternommen hast, onst können wir ja keine vorstellung davon bekommen, was schiefläuft.

Gruß v. Angela

Bezug
        
Bezug
Lagrangefunktion: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:16 Sa 26.07.2008
Autor: Loddar

Hallo eldanielo!


Forme z.B. Deine 1. Gleichung nach [mm] $\lambda [/mm] \ = \ ...$ auf (Achtung: Sonderfall untersuchen) und setze anschließend in die 2. Gleichung ein.


Gruß
Loddar


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Bezug
Lagrangefunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:51 Sa 26.07.2008
Autor: eldanielo

Hey Loddar,

danke für deinen Tipp! Hab jetzt folgende Werte raus.
X = [mm] \pm [/mm] 1
y= [mm] \pm \wurzel{0,5} [/mm]

Ich hoffe die Ergebnisse sind richtig, aber was sagen die Werte jetzt aus? Wie fahre ich nun fort?
Danke schonmal!
eldanielo

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Bezug
Lagrangefunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Sa 26.07.2008
Autor: M.Rex

Hallo

Die Werte passen nicht ganz:

Es gilt: [mm] y=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm]
Und damit [mm] x=\pm1 [/mm]
Und du hast den Wert für [mm] \lambda [/mm] vergessen....

Es gibt aber noch einen Sonderfall zu beachten, aus

[mm] y+\lambda*x=0 [/mm]
[mm] \gdw \lambda*x=-y [/mm]
[mm] \gdw \lambda=-\bruch{y}{x} [/mm]  (Sonderfall beachten! Welchen?)

Dann gilt aus 2:

[mm] x+2y*\lambda=0 [/mm]
[mm] \gdw x-2y*\bruch{y}{x}=0 [/mm]
[mm] \gdw [/mm] x²-2y²=0
[mm] \gdw [/mm] x²=2y²
[mm] \gdw x=\pm\wurzel{2}*y [/mm]


Somit:

[mm] \bruch{x²}{2}+y²-1=0 [/mm]
[mm] \gdw \bruch{2y²}{2}+y²=1 [/mm]
[mm] \gdw [/mm] 2y²=1
[mm] \gdw y=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm]


Marius

Bezug
                                
Bezug
Lagrangefunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:46 Sa 26.07.2008
Autor: angela.h.b.


> Hallo
>  
> Die Werte passen nicht ganz:
>  
> Es gilt: [mm]y=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>  Und damit [mm]x=\pm1[/mm]

Hallo Marius,

den Unterschied zu den Werten, die eldanielo errechnet hatte, hast Du aber nicht so recht herausgearbeitet...

>  Und du hast den Wert für [mm]\lambda[/mm] vergessen....

Wieso? Der Wert  interessiert doch niemanden.

Gruß v. Angela

Bezug
                                        
Bezug
Lagrangefunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:51 Sa 26.07.2008
Autor: eldanielo

Hey angela,
hatte [mm] \lambda [/mm] auch aus nicht berechnet weil es mir unwichtig erschien. Gut zu wissen. Dankeschön!

eldanielo

Bezug
                                
Bezug
Lagrangefunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Sa 26.07.2008
Autor: eldanielo

Hey Marius,

dank dir für deine Hilfe. Für lambda ergibt sich bei mir [mm] \pm \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm]
Bei dem Sonderfall den du ansprichst müsste es darum gehen dass unter der Vorraussetzung aufgelöst wird das x [mm] \not= [/mm] 0 ist, oder?

Wie fahre ich nun fort wenn ich die werte ermittelt habe?

Danke schonmal!
eldanielo

Bezug
                                        
Bezug
Lagrangefunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Sa 26.07.2008
Autor: angela.h.b.


> Wie fahre ich nun fort wenn ich die werte ermittelt habe?

Hallo,

wie ich bereits schrieb: ermittle die Funktionswerte, die zu den kritischen Punkten gehören.

Gruß v. Angela

Bezug
                        
Bezug
Lagrangefunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:55 Sa 26.07.2008
Autor: angela.h.b.


> Hey Loddar,
>  
> danke für deinen Tipp! Hab jetzt folgende Werte raus.
>  X = [mm]\pm[/mm] 1
>  y= [mm]\pm \wurzel{0,5}[/mm]
>  
> Ich hoffe die Ergebnisse sind richtig, aber was sagen die
> Werte jetzt aus? Wie fahre ich nun fort?

Hallo,

Deine Zahlen als solche stimmen, ich bin mir aber nicht sicher, ob Du das richtig interpretierst.

Nehmem wir mal Marius' Rechnung.

Eins der Zwischenergebnisse ist $  [mm] x=\pm\wurzel{2}\cdot{}y [/mm] $,

und schließlich erhält er $ [mm] y=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] $  (was im übrigen dasselbe wie [mm] \wurzel{0.5} [/mm] ist.

Du suchst ja die kritischen Punkte, dafür mußt Du nun zu jedem y die passenden x ausrechnen, indem Du das y in  [mm] x=\pm\wurzel{2}\cdot{}y [/mm] einsetzt.

1.Fall: [mm] y=\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] ==> [mm] x=\pm [/mm] 1, also sind (1, [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}) [/mm] und (-1, [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}) [/mm] kritische Punkte.

2.Fall: dasselbe für [mm] y=-\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] , das ergibt ???


Nun willst Du ja noch wissen, wo die Minima und Maxima sind.

Dazu würde ich nun die gefundenen Punkte in die Funktion einsetzen und die Funktionswert berechnen.

Zu dem Sonderfall: ich hoffe, Du weißt, daß man nicht durch 0 dividieren darf und hast diesen Fall gesondert untersucht.
Er führt zu einem Punkt, welcher die Nebenbedingung nicht erfüllt, also nicht infrage kommt.

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Lagrangefunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:06 Sa 26.07.2008
Autor: M.Rex

Hallo Angela.

Wer richtig lesen kann, ist klar im Vorteil [pfeif]

Ich habe [mm] \wurzel{0,5} [/mm] als [mm] \wurzel{2} [/mm] interpretiert...

Marius

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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