Lagrangemultiplikatoren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Mi 28.01.2009 | | Autor: | uecki |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion
f(x)= [mm] \bruch{1}{3}*(x-1)^3 [/mm] + [mm] y*(x-1)^2 [/mm] - [mm] y^2
[/mm]
in B = [mm] \{ x \in \IR^2 | (x-1)^2 - 2*y \le 1 , y \le 0 \} [/mm] ein Minimum besitzt und berechnen Sie dieses. |
Hallo,
zu obiger Aufgabenstellung habe ich mir eine Zeichnung gemacht und anhand dieser kann man schon sehen, dass die Funktion ein Minimum besitzt. Danach wollte ich aber die Lagrangemultiplikatoren berechnen.
Das Aufstellen der Lagrangefunktion und der partiellen Ableitungen ist mir eigentlich klar, aber ich verstehe die Fälle nicht richtig.
Ich habe da folgendes stehen:
[mm] L(x,\lambda)= \bruch{1}{3}*(x-1)^3 [/mm] + [mm] y*(x-1)^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] + [mm] \lambda_1*((x-1)^2-2*y-1) [/mm] + [mm] \lambda_2*y
[/mm]
ableitung nach x = [mm] (x-1)^2 [/mm] + [mm] 2*y*(x-1)+2\lambda_1*(x-1) [/mm] =0
ableitung nach y = 2*y*(x-1) -2*y - [mm] 2*\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] =0
dann noch zwei Gleichungen wegen den Nebenbedingungen:
[mm] \lambda_1 *((x-1)^2 [/mm] -2*y -1)=0
[mm] \lambda_2*y=0
[/mm]
Wie komme ich da nun zu meinem Minimalpunkt ?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mi 28.01.2009 | | Autor: | uecki |
In der Vorlesung haben wir das so gemacht...Habe ja die Lösung dazu hier nur ich kann sie nicht mehr nachvollziehen.
Wie geht das denn nach deiner Methode?
Die Lagrangefunktion noch nach [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] ableiten? Und dann?
LG
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> In der Vorlesung haben wir das so gemacht...Habe ja die
> Lösung dazu hier nur ich kann sie nicht mehr
> nachvollziehen.
> Wie geht das denn nach deiner Methode?
> Die Lagrangefunktion noch nach [mm]\lambda_1[/mm] und [mm]\lambda_2[/mm]
> ableiten?
Hallo,
ja. Was dem Hinschreiben der NB entspricht.
> Und dann?
Die partiellen Ableitungen =0 setzen, das Gleichungssystem lösen, und so die Extremwertkandidaten ermitteln.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mi 28.01.2009 | | Autor: | uecki |
Also kann ich das Gleichungssystem einfach lösen mit Gauß zum Beispiel?
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> Also kann ich das Gleichungssystem einfach lösen mit Gauß
> zum Beispiel?
Hallo,
es ist mit irgendeiner Methode zu lösen.
Gauß ist ja nur für lineare Gleichungssysteme.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mi 28.01.2009 | | Autor: | uecki |
Ich weiß ehrlich gesagt nicht wie ich da anfangen soll. Ich weiß die einzelnen Fälle nicht. Kann mir nicht jemand einen Tipp geben, wie die Fälle lauten?
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> Ich weiß ehrlich gesagt nicht wie ich da anfangen soll. Ich
> weiß die einzelnen Fälle nicht. Kann mir nicht jemand einen
> Tipp geben, wie die Fälle lauten?
Hallo,
von welchen "Fällen" redest Du denn eigentlich gerade? Ich weiß gar nicht, was Du meinst.
Steht denn Dein Gleichungssystem inzwischen?
Es wäre sicher hilfreich, das zu sehen.
Im Prinzip kann man dann so vorgehen, daß man eine Variable nach der anderen eliminiert.
Oft biete es sich an, daß man sich schnell von den [mm] \lambda [/mm] trennt, denn man braucht sie ja niht weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mi 28.01.2009 | | Autor: | uecki |
Meinst du eleminieren, indem ich die Gleichungen einfach voneinander abziehe oder addiere? Kann man das einfach so machen?
Mit den Fällen meine ich, dass wir (in der Vorlesung) einmal zum Beispiel [mm] \lambda_1 [/mm] = 0 und [mm] \lambda_2 \not= [/mm] 0 und umgekehrt und noch für die x und y- Werte solche Fallunterscheidungen gemacht haben bis wir das Minimum gefunden haben.
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> Meinst du eleminieren, indem ich die Gleichungen einfach
> voneinander abziehe oder addiere? Kann man das einfach so
> machen?
Hallo,
zum Beispiel so. Alles, was richtig ist, darf man machen.
Ich kann Dir kein Patentrezept liefern, dazu können Gleichungssysteme viel zu verschieden aussehen.
>
> Mit den Fällen meine ich, dass wir (in der Vorlesung)
> einmal zum Beispiel [mm]\lambda_1[/mm] = 0 und [mm]\lambda_2 \not=[/mm] 0 und
> umgekehrt und noch für die x und y- Werte solche
> Fallunterscheidungen gemacht haben bis wir das Minimum
> gefunden haben.
Solche Fallunterscheidungen kommen z.B. zustande, wenn man dividiert. Hier muß man die Fälle, in denen man durch 0 teilen würde, ausschließen und getrennt untersuchen.
Auch gibt es Gleichungen, die mehrere Lösungen haben, die muß man natürlich allesamt weiterverfolgen.
Lernen kann man es nur durchs Tun. Es hat wenig Zweck, jetzt noch ein paar Posts lang über das Lösun von Gleichungssystemen zu plaudern. Fang doch mal an.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:27 Fr 30.01.2009 | | Autor: | uecki |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion
f(x)= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] (x-1)^3 [/mm] + y * [mm] (x-1)^2 -y^2
[/mm]
in B= {x [mm] \in \IR^2 [/mm] | [mm] (x-1)^2 [/mm] - 2*y [mm] \le [/mm] 1 , y [mm] \le [/mm] 0 } |
Hallo,
ich habe die Aufgabe jetzt folgendermaßen gelöst und habe folgendes rausbekommen:
Nach dem ich die Lagrangefunktion erstellt habe und die jeweils nach [mm] x,y,\lambda_1,\lambda_2 [/mm] abgeleitet hab, ergaben sich folgende zwei Fälle:
y=0 -> das steht schon fest
1.Fall: x=2, [mm] \lambda_1 [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] -> Widerspruch da [mm] \lambda \ge [/mm] 0 sein muss
2.Fall: x=0, [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] , [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
Demnach müsste dann mein Minimum bei y=0 und x=0 liegen.
Ich bin mir nur leider nicht so sicher ob das Richtig ist...Könnte mir mal jemand sagen ob das Ergebnis stimmt? Wäre für jede Antwort sehr dankbar!
LG
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> Zeigen Sie, dass die Funktion
>
> f(x)= [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm](x-1)^3[/mm] + y * [mm](x-1)^2 -y^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> in B= {x [mm]\in \IR^2[/mm] | [mm](x-1)^2[/mm] - 2*y [mm]\le[/mm] 1 , y [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 }
> Hallo,
>
> ich habe die Aufgabe jetzt folgendermaßen gelöst und habe
> folgendes rausbekommen:
>
> Nach dem ich die Lagrangefunktion erstellt habe und die
> jeweils nach [mm]x,y,\lambda_1,\lambda_2[/mm] abgeleitet hab,
> ergaben sich folgende zwei Fälle:
Hallo,
wenn Du solche Dinge korrigiert haben möchtest, solltest Du Deine Zwischenergebnisse mitposten - dann braucht man nämlich nicht alles selbst zu rechnen.
Ich würde hier erwarten zu sehen
- die Lagrangefunktion
- die partiellen Ableitungen
- wie Du das GS löst.
Gruß v. Angela
>
> y=0 -> das steht schon fest
>
> 1.Fall: x=2, [mm]\lambda_1[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] -> Widerspruch da
> [mm]\lambda \ge[/mm] 0 sein muss
>
> 2.Fall: x=0, [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] , [mm]\lambda_2[/mm] = 0
> Demnach müsste dann mein Minimum bei y=0 und x=0 liegen.
>
> Ich bin mir nur leider nicht so sicher ob das Richtig
> ist...Könnte mir mal jemand sagen ob das Ergebnis stimmt?
> Wäre für jede Antwort sehr dankbar!
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 So 01.02.2009 | | Autor: | tynia |
Hallo. Ich habe dieselbe Aufgabe gelöst und würde nun gerne Wissen, ob mein Rechenweg und mein Ergebnis richtig ist. Die Funktion habe ich im Internet zeichnen lassen und als Bild beigefügt. Wäre schön, wenn du da mal drüber gucken könntest.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hallo. Ich habe dieselbe Aufgabe gelöst und würde nun gerne
> Wissen, ob mein Rechenweg und mein Ergebnis richtig ist.
> Die Funktion habe ich im Internet zeichnen lassen und als
> Bild beigefügt. Wäre schön, wenn du da mal drüber gucken
> könntest.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo,
diese gescannten Lösungen haben den großen Nachteil, daß man nicht dazwischenschreiben kann.
Ein Rätsel ist für mich gleich die erste Zeile mit dem farbig markierten [mm] \pm. [/mm] Ich sehe hier keinen Zusammenhang zur Aufgabe.
EDIT:
Die Lösung Deiner Aufgabe scheint mir bereits im Ansatz problematisch zu sein.
Du verwendest die beiden Nebenbedingungen für Deinen Lagrageansatz.
Jedoch funktioniert der Lagrangeansatz ja nur, wenn die Nebenbedingungen regulär sind.
Hier erhältst Du [mm] g'(x,y)=\pmat{2(x-1) &-2\\ 0&0}
[/mm]
Der Rang dieses GS ist stets [mm] \not=2.
[/mm]
Also geht das so nicht.
Ich würde so vorgehen daß ich eine stückweise Untersuchung des Randes vornehmen würde. zunächst den linken Parabelast für [mm] x\in ]-\infty, [/mm] 0[, den rechten Ast [mm] x\in ]2,\infty[ [/mm] und die untere Begrenzung y=0 für [mm] x\in [/mm] ]0,2[.
Anschließend sind noch die Punkte (0/0) und (2,0) an welchen die Randstücke "spitzig" aneinanderstoßen, zu untersuchen.
Wenn die Untersuchung des Rands abgeschlossen ist, müßte sich noch eine Untersuchung des Bereiches, wo die die NB <,> lautet, anschließen.
Ich verstehe das auch nicht mit den [mm] \lambda, [/mm] die nicht < 0 sein dürfen. Warum?
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:58 Di 03.02.2009 | | Autor: | tynia |
Ich dachte die Regularität ist gegeben, wenn die Gradienten der Nebenbedingungen linear unabhängig sind. Und das sind sie doch, denn [mm] \nabla g_{1}=(2x-2,-2) [/mm] und [mm] \nabla g_{2}=(0,1).
[/mm]
Und das mit dem [mm] \pm [/mm] habe ich einfach gemacht, um die Funktion zeichnen zu können. Ich habe f(x) einfach nach y umgeformt.
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> Ich dachte die Regularität ist gegeben, wenn die Gradienten
> der Nebenbedingungen linear unabhängig sind. Und das sind
> sie doch, denn [mm]\nabla g_{1}=(2x-2,-2)[/mm] und [mm]\nabla g_{2}=(0,1).[/mm]
Hallo,
oh weh, da war ich etwas trottelig!
> Und das mit dem [mm]\pm[/mm] habe ich einfach gemacht, um die
> Funktion zeichnen zu können. Ich habe f(x) einfach nach y
> umgeformt.
Ich beginne zu begreifen: das ist wohl die Höhenlinie für f(x,y)=0.
Es bleibt die Frage mit den negativen [mm] \lambda [/mm] .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:31 Di 03.02.2009 | | Autor: | tynia |
Und das mit dem [mm] \lambda [/mm] ist doch so wegen der Kuhn-Tucker-Bedingung die besagt, dass [mm] \lambda \ge [/mm] 0 sein muss. Oder nicht?
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> Und das mit dem [mm]\lambda[/mm] ist doch so wegen der
> Kuhn-Tucker-Bedingung die besagt, dass [mm]\lambda \ge[/mm] 0 sein
> muss. Oder nicht?
Hallo,
so allmählich geht mir ein Lichtlein auf, und ich beginne Euer (für mich!) etwas befremdliches Treiben zu verstehen...
Deshalb auch die [mm] \lambda_i, [/mm] die Ihr anfänglich vor den Nebenbedingungen hattet...
Ich müßte erstmal genauer nachlesen, wie das mit den Kuhn-Tucker-Bedingungen genau funktioniert. Ob ich's vergessen habe oder nie gewußt, kann ich gar nicht sagen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:12 Di 03.02.2009 | | Autor: | tynia |
Ok,ich habe es jetzt anders gelöst und ich erhalte für den Minimalpunkt x=1 und y=-0,5. Das passt auch mit der Lösung aus der Vorlesung. Danke trotzdem
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Do 05.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
[mm] $f_y(x,y,\lamda_1,\lamda_2) [/mm] \ = \ [mm] 1*(x-1)^2-2*y-2*\lambda_1+\lambda_2 [/mm] \ = \ 0$
