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Lagrangepolynom (Operationen): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Fr 17.01.2020
Autor: teskiro

Aufgabe
Aufgabe 1
________


Bestimmen Sie die Anzahl der Rechenoperationen (jeweils die Anzahl der Additionen bzw. Multiplikationen), die für die Berechnung eines Interpolationspolynoms in Lagrange -  Darstellung nötig sind.


Aufgabe 2
_________


Bestimmen Sie die Anzahl der Rechenoperationen bei dividierten Differenzen - Verfahren mit Newton - Polynomen.


Vergleichen Sie diese mit der aus Aufgabe 1.

Was ist — abgesehen von weniger Rechenschritten — der Vorteil gegenüber dem Lagrange-Ansatz?

Ich denke nicht, dass die Aufgabe schwierig ist, aber ich bin mir nicht sicher, ob ich die Rechenschritte richtig zähle.

Mein Ansatz zur Aufgabe 1 ist folgender:




Zu Aufgabe 1:


Das Lagrangsche Interpolationspolynom ist definiert durch [mm] $P_{n}(x) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{n} y_{i} \cdot L_{i}^{(n)}(x)$, [/mm] wobei [mm] $L_{i}^{(n)}(x) [/mm] = [mm] \prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n}\frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}$. [/mm]


Schauen wir uns zunächst das $i$ - te Lagrangsche Basispolynom   [mm] $L_{i}^{(n)}(x) [/mm] = [mm] \prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n}\frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}$ [/mm] an.


Der Bruch [mm] $\frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}$ [/mm] besteht aus den Differenzen $x - [mm] x_{j}$, $x_{i} [/mm] - [mm] x_{j}$ [/mm] und einer Division [mm] $\frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}$. [/mm]

Um den Bruch [mm] $\frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}$ [/mm] zu berechnen, benötigen wir also $3$ Rechenoperationen; 2 Differenzen und eine Division.



Das $i$ - te Lagrangsche Basispolynom   [mm] $L_{i}^{(n)}(x) [/mm] = [mm] \prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n}\frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}$ [/mm]  ist die Multiplikation $n$ solcher Brüche.

Um die $n$ Brüche zu berechnen, benötigen wir also $3n$ Rechenoperationen.

Dann multiplizieren wir diese $n$ Brüche miteinander und wir haben dann $n - 1$ Multiplikationen.



Insgesamt müssen wir also $3n + (n - 1) = 4n - 1$ Rechenoperationen durchführen, um das $i$ - te Lagrangsche Basispolynom   [mm] $L_{i}^{(n)}(x)$ [/mm] zu bestimmen.


Das Polynom  [mm] $y_{i} L_{i}^{(n)}(x) [/mm] $ erfordert dann $ 4n - 1 + 1 = 4n$ Schritte, weil dazu noch eine Multiplikation kommt.


Von den Polynomen   [mm] $y_{i} L_{i}^{(n)}(x) [/mm] $  gibt es $n + 1$ Stück.

D.h, um alle $n + 1$ Polynome   [mm] $y_{i} L_{i}^{(n)}(x) [/mm] $   zu berechnen,   brauchen wir $(n + 1) [mm] \cdot [/mm] 4n = [mm] 4n^{2} [/mm] + 4n$ Rechenoperationen.



Das Lagrangsche Interpolationspolynom [mm] $P_{n}(x) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{n} y_{i} \cdot L_{i}^{(n)}(x)$ [/mm] ist die Summe von $n + 1$ solcher Polynome [mm] $y_{i} \cdot L_{i}^{(n)}(x)$. [/mm] Die Summe besteht also aus $n$ Additionen.



Um also das Polynom [mm] $P_{n}(x)$ [/mm] zu berechnen, brauchen wir insgesamt [mm] $4n^{2} [/mm] + 4n + n = [mm] 4n^{2} [/mm] + 5n$ Rechenoperationen.




Würde das so stimmen? Ich habe das mehrmals kontrolliert, aber ich finde keinen Fehler. Aber es kann auch gut sein, dass ich etwas übersehen habe.



Mein Ansatz zur Aufgabe 2 poste ich morgen, da es gerade zeitlich nicht reicht.

Ich freue mich auf einen Feedback!


Schönen Abend noch








        
Bezug
Lagrangepolynom (Operationen): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:54 Sa 18.01.2020
Autor: felixf

Moin!

> Würde das so stimmen? Ich habe das mehrmals kontrolliert,
> aber ich finde keinen Fehler. Aber es kann auch gut sein,
> dass ich etwas übersehen habe.

Sieht richtig aus.

LG Felix


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