Landau-Notation und LGS < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] ist asymptotisch von der Ordnung der Folge [mm] (b_n)_{n \in \IN} [/mm], falls die Zahlen c > 0 und N [mm] \in \IN [/mm] existieren, sodass [mm] |a_n| \le c |b_n| \forall n \ge N [/mm] gilt. In diesem Fall verwenden wir die Landau-Notation [mm] a_n= O(b_n) [/mm].
Beispiel: Das Gaußsche Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems besitzt den Aufwand [mm] O(n^3) [/mm], während die Cramersche Regel auf einen Aufwand der Ordnung [mm] O(n!) [/mm] führt. |
Hallo!
Ich wollte eigentlich nur ein paar Beispiele anschauen, um den unterschiedlichen Aufwand im Beispiel zu verinnerlichen und habe nun das Gefühl, die Landau-Notation doch nicht so ganz verstanden zu haben.
Ist das nicht das Maß für die Anzahl der Elementarschritte des Algorithmus?
Wenn man also ein LGS Ax=b lösen will mit [mm] A \in \IR^{nxn} [/mm], dann dachte ich, bräuchte man mit Gauß [mm] n^3=8 [/mm] Rechenoperationen und mit Cramer n!=2 Rechenoperationen.
Also habe ich mir das Bsp. [mm] Ax=b: \pmat{ 1 & 2 & | 3 \\ 4 & 5 & | 6 } [/mm] vorgenommen:
Mit Gauß:
[mm] Ax=b: \pmat{ 1 & 2 & | 3 \\ 4 & 5 & | 6 } \to \pmat{ 1 & 2 & | 3 \\ 0 & -3 & | -6 } \to x_2= \bruch{-6}{-3}=2, x_1+2*2=3 \to x_1=-1 [/mm] Wenn ich alle elementaren Rechenoperationen zähle, komme ich auf 9 [mm] \not= [/mm] 8
Mit Cramer:
[mm] Ax=b: \pmat{ 1 & 2 & | 3 \\ 4 & 5 & | 6 } \to x_1= \bruch{detA_1}{detA}=\bruch{3*5-6*2}{1*5-2*4}=\bruch{3}{-3}=-1, x_2=\bruch{1*6-4*3}{-3}=\bruch{-6}{-3}=2 [/mm]. Hier sind es 11!!
Irgendwas habe ich gründlich missverstanden, aber ich komm nicht drauf, was es ist. Kann mir jemand helfen?
Liebe Grüße, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Di 12.07.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] O(n^3) [/mm] heisst doch nicht, dass der Aufwand [mm] n^3 [/mm] ist, sondern dass er mit wachsendem n nicht mehr als mit [mm] n^3 [/mm] (bzw im anderen Fall mit n! wächst. also kann er auch immer [mm] 7*n^3 [/mm] oder 117*n! sein zum Beispiel. du hast das c in der def. vergessen.
Gruß ledum
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Achso, ja, stimmt, das macht Sinn... danke schon mal für die Antwort! 
Aber dann verstehe ich nicht ganz, was das überhaupt aussagt, denn zB mit n=2 ist [mm] 2*n^3 [/mm] wesentlich kleiner als [mm] 20*n^2. [/mm] Und wie bestimmt man den Aufwand ohne c fest zu haben? ZB der Aufwand für das Gauß-Eliminationsverfahren. Wie kommt man auf den? Kann mir hier jemand einen Tipp geben?
Liebe Grüße, Lily
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Hiho,
> Aber dann verstehe ich nicht ganz, was das überhaupt
> aussagt, denn zB mit n=2 ist [mm]2*n^3[/mm] wesentlich kleiner als
> [mm]20*n^2.[/mm]
Ja das stimmt, ist einem aber egal. Der Zeitunterschied zwischen den beiden Fällen ist marginal klein und damit egal, weil n so klein ist.
Wenn es um Aufwände geht, möchte man den Aufwand für große n schätzen. Und da gilt nun mal für alle [mm] $c_i [/mm] > 0$ und ausreichend große [mm] $n\in\IN [/mm] immer [mm] $c_1n^3 [/mm] > [mm] c_2n^2$
[/mm]
> Und wie bestimmt man den Aufwand ohne c fest zu
> haben? ZB der Aufwand für das Gauß-Eliminationsverfahren.
Da kommt noch das Problem hinzu, dass du ja "inuitiv" den kürzesten Weg suchst um das Verfahren durchzuführen. Du müsstest also ein Verfahren finden, was IMMER funktioniert und dann schauen, wie viele Schritte du dafür maximal brauchst.
> Wie kommt man auf den? Kann mir hier jemand einen Tipp geben?
Das ist sehr schön im entsprechenden ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel erklärt bzw in den entsprechenden Artikeln der einzelnen Verfahren.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:25 Mi 13.07.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
Vielen Dank! Dann schau ich mir das mal an ^^
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