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Landau-Symbole: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:31 So 27.04.2014
Autor: Arthaire

Aufgabe
a) Für welche n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] f''(x)-\bruch{f(x-h)-2f(x)+f(x+h)}{h^2} [/mm] = [mm] O(h^n) [/mm] für h [mm] \to, [/mm] unter der Annahme, dass f [mm] \in C^3(\IR,\IR), ||f'''||<\infty. [/mm]
b) Sei [mm] a_{0}=1, a_{1}=1, a_{n+2}:= a_{n+1} [/mm] + [mm] a_{n} [/mm] für n [mm] \in \IN_{0}. [/mm] Bestimmen Sie möglichst alle [mm] \alpha, \beta \in \IR, [/mm] so dass [mm] a_{n} [/mm] = [mm] O(n^\alpha), a_{n} [/mm] = [mm] O(\beta^n) [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] gilt.

Hallo zusammen,

ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.

Leider finde ich hier keinen Ansatz, da ich mit dem Symbol [mm] O(h^n) [/mm] nichts anfangen kann. Prinzipiell bedeutet O(h) ja, dass [mm] \limes_{x\rightarrow a}sup|\bruch{f(x)}{h(x)}| [/mm] < [mm] \infty. [/mm] Aber was passiert, wenn es nicht um O(h), sondern um [mm] O(h^n) [/mm] geht?

Das Gleiche ist bei Teilaufgabe b).

Danke im Voraus!

        
Bezug
Landau-Symbole: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:37 So 27.04.2014
Autor: DieAcht

Hallo Arthaire,


> a) Für welche n [mm]\in \IN[/mm] gilt
> [mm]f''(x)-\bruch{f(x-h)-2f(x)+f(x+h)}{h^2}[/mm] = [mm]O(h^n)[/mm] für h
> [mm]\to,[/mm] unter der Annahme, dass f [mm]\in C^3(\IR,\IR), ||f'''||<\infty.[/mm]

Gegen was geht denn [mm] $h\$? [/mm] Ich vermute

      [mm] $h\to [/mm] 0$.

Ich setze mal

      [mm] g(x):=f''(x)-\bruch{f(x-h)-2f(x)+f(x+h)}{h^2}. [/mm]

Deine Frage ist nun: Was bedeutet folgender Ausdruck:

      [mm] g(x)=\mathcal O(x^n) $(x\to [/mm] 0)$ mit [mm] n\in\IN [/mm]

Antwort in Worten:

      [mm] \frac{g(x)}{x^n} [/mm] ist in der Nähe von Null beschränkt!

Alles klar?


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Landau-Symbole: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:19 So 27.04.2014
Autor: Arthaire

Wenn ich ehrlich sein darf, dann nicht.
Den Bruch gegen null laufen lassen geht nicht, da der Zähler und der Nenner null würden. Und irgendwie komme ich danach nicht weiter.

Bezug
                        
Bezug
Landau-Symbole: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:57 So 27.04.2014
Autor: DieAcht


> Wenn ich ehrlich sein darf, dann nicht.
> Den Bruch gegen null laufen lassen geht nicht, da der
> Zähler und der Nenner null würden. Und irgendwie komme
> ich danach nicht weiter.

In solchen Fällen gibt es L'Hôpital. Das ist übrigens auch
der Grund für

      [mm] $f\in C^3(\IR,\IR)$. [/mm]

Ohne deinen Rechenweg kann ich dir auch nicht helfen.

Bezug
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