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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Lilium |
| Aufgabe | Seien [mm] f_{1},f_{2}, g_{1}, g_{2} :]a,\infty[\to \IR [/mm] Funktionen mit
[mm] f_{1}(x) [/mm] = [mm] o(g_{1}(x)) [/mm] für x [mm] \to \infty.
[/mm]
Man zeige [mm] f_{1}(x)f_{2}(x) [/mm] = [mm] o(g_{1}(x)g_{2}(x)) [/mm] für x [mm] \to \infty. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich weiß überhaupt nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
Kann ich dafür verwenden, dass allgemein
log x= [mm] o(x^{\alpha}) (\alpha>0 [/mm] , x [mm] \to \infty) [/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt?
Wenn ja, wie genau muss ich anfangen?
Ich wäre für eine Hilfestellung sehr dankbar.
Schon einmal vielen Dank im Voraus und
einen "Guten Rutsch" ins neue Jahr 2011,
Lilium
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> Seien [mm]f_{1},f_{2}, g_{1}, g_{2} :]a,\infty[\to \IR[/mm]
> Funktionen mit
> [mm]f_{1}(x)[/mm] = [mm]o(g_{1}(x))[/mm] für x [mm]\to \infty.[/mm]
>
> Man zeige [mm]f_{1}(x)f_{2}(x)[/mm] = [mm]o(g_{1}(x)g_{2}(x))[/mm] für x [mm]\to \infty.[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> ich weiß überhaupt nicht, wie ich an diese Aufgabe
> rangehen soll.
Ist das wirklich die Aufgabe?
Es ist doch nichts über [mm] $f_2$ [/mm] bekannt?
Soll es heißen [mm] $f_i(x) [/mm] = [mm] o(g_i(x)), [/mm] \ x [mm] \to \infty,\ [/mm] i = 1,2$ ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu
> Soll es heißen [mm]f_i(x) = o(g_i(x)), \ x \to \infty,\ i = 1,2[/mm]
nein, es heisst [mm] $f_2 \in O(g_2)$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Di 04.01.2011 | | Autor: | Disap |
Hallo Gono!
> > Soll es heißen [mm]f_i(x) = o(g_i(x)), \ x \to \infty,\ i = 1,2[/mm]
>
> nein, es heisst [mm]f_2 \in O(g_2)[/mm]
Okay, danke für den Notationshinweis. Ohne lang nachzudenken hatte ich mich des Stils vom Themenersteller angepasst.
Gut, dass du aufpasst! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Viele Grüße
Disap
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Hallo Lilium,
mal von der Tatsache abgesehen, dass du einen Teil der Aufgabe unterschlagen hast:
Schreibe dir die Definitionen hin, die ihr dazu hattet.
Über die Grenzwertdefinitionen gehts recht fix, musst aber den Fall [mm] $g_i(x)=0$ [/mm] seperat betrachten.
Das brauchst du bei der [mm] $\varepsilon$-Definition [/mm] nicht, ist halt dann mehr abschätzen.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Lilium |
Hallo Gono,
vielen dank und ein frohes neues Jahr wünsche ich 
> Schreibe dir die Definitionen hin, die ihr dazu hattet.
ich habe die letzten tage auch nochmal drüber nachgedacht und würde diese definition nehmen:
f(x)=o(g(x)) mit x--> [mm] \infty [/mm] ist äquivalent zu es für alle ein [mm] \varepsilon [/mm] >0 mit x>a f(x) [mm] \le \varepsilon(g(x)) [/mm] gibt.
für das große O habe ich auch so eine definition, allerdings mit dem unterschied, dass es nun heißt "es ex. ein" [mm] \varepsilon.. [/mm] (bei uns heißt es K.. also daraus folgt dann, dass:
[mm] f1(x)f2(x)=\varepsilon(g1(x))K(g2(x)) [/mm] und da stets ein K existiert gilt die ungleichung dann doch für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 . oder? meinst du das geht so?
> Über die Grenzwertdefinitionen gehts recht fix, musst aber
> den Fall [mm]g_i(x)=0[/mm] seperat betrachten.
das verstehe ich leider nicht ganz, meinst du die def: [mm] |a_n-a|<\varepsilon [/mm] ?
> Das brauchst du bei der [mm]\varepsilon[/mm]-Definition nicht, ist
> halt dann mehr abschätzen.
ist das eine andere definition, als die von oben?
Danke für die liebe Hilfe
Lilium
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Huhu,
verwende doch bitte den Formeleditor.
Ein wenig Aufwand kann man auch von dir erwarten....
> für das große O habe ich auch so eine definition,
> allerdings mit dem unterschied, dass es nun heißt "es ex.
Na schreibe doch mal beide Definitionen sauber auf und mache dir den Unterschied klar!
> ein" [mm]\varepsilon..[/mm] (bei uns heißt es K.. also daraus folgt
> dann, dass:
> [mm]f1(x)f2(x)=\varepsilon(g1(x))K(g2(x))[/mm] und da stets ein K
> existiert gilt die ungleichung dann doch für alle
> [mm]\varepsilon[/mm] >0 . oder? meinst du das geht so?
Nein. Was musst du denn überhaupt zeigen?
Auch hier: Schreibe das sauber auf!
Verwende dann die Voraussetzung, um dich zu zitieren, "mit dem k" und dann stehts schon fast da.
> > Über die Grenzwertdefinitionen gehts recht fix, musst
> aber
> > den Fall [mm]g_i(x)=0[/mm] seperat betrachten.
> das verstehe ich leider nicht ganz, meinst du die def:
> [mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm] ?
Nicht die Definition des Grenzwerts, sondern die Definition der Landau-Symbole über Grenzwerte!
Die hattet ihr auch.
> ist das eine andere definition, als die von oben?
Ja!
Sie sind zwar äquivalent, aber anders.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Lilium |
Hallo,
> verwende doch bitte den Formeleditor.
> Ein wenig Aufwand kann man auch von dir erwarten....
oje...tut mir sehr leid :( wo hab ich was vergessen? den pfeil seh ich gerade erst... ich liefer ihn mal nach : [mm] \to [/mm] ^^
> > für das große O habe ich auch so eine definition,
> > allerdings mit dem unterschied, dass es nun heißt "es ex.
>
> Na schreibe doch mal beide Definitionen sauber auf und
> mache dir den Unterschied klar!
[mm] f_1(x)=o(g_1(x)) [/mm] x [mm] \to \infty \gdw \forall \varepsilon>0: |f_1(x)|\le \varepsilon|g_1(x)|
[/mm]
[mm] f_2(x)=O(g_2(x)) [/mm] x [mm] \to \infty \gdw \exists [/mm] K>0: [mm] |f_2(x)|\le K|g_2(x)|
[/mm]
Ich muss zeigen, dass [mm] f_1(x)f_2(x)=o(g_1(x)g_2(x)) [/mm] ,also dass [mm] \forall \varepsilon>0: |f_1(x)f_2(x)| \le \varepsilon|g_1(x)g_2(x)|
[/mm]
und ich dachte mir, dass ich das nun aus beiden Definitionen zusammensetzen kann:
[mm] |f_1(x)||f_2(x)|=\varepsilon|g_1(x)| K|g_2(x)|
[/mm]
aber irgendwie komme ich da nicht weiter. kann/muss ich eine andere definition noch verwenden?
> Nicht die Definition des Grenzwerts, sondern die Definition
> der Landau-Symbole über Grenzwerte!
> Die hattet ihr auch.
meinst du für [mm] |f(x)|\le \varepsilon|g(x)|
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f(x)}{g(x)}=0, [/mm] falls g(x) [mm] \not= [/mm] 0
Ich komme an dieser Stelle einfach nicht weiter, ih habe im Skript/Buch nach den Definitionen geschaut, ich hoffe, dass ich die jetzt alle habe, die ich brauche!?
Kannst du mir noch einen Tipp geben??
Danke.
Lilium
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> [mm]f_1(x)=o(g_1(x))[/mm] x [mm]\to \infty \gdw \forall \varepsilon>0: |f_1(x)|\le \varepsilon|g_1(x)|[/mm]
> [mm]f_2(x)=O(g_2(x))[/mm] x [mm]\to \infty \gdw \exists[/mm] K>0: [mm]|f_2(x)|\le K|g_2(x)|[/mm]
>
> Ich muss zeigen, dass [mm]f_1(x)f_2(x)=o(g_1(x)g_2(x))[/mm] ,also
> dass [mm]\forall \varepsilon>0: |f_1(x)f_2(x)| \le \varepsilon|g_1(x)g_2(x)|[/mm]
Jo.
> und ich dachte mir, dass ich das nun aus beiden
> Definitionen zusammensetzen kann:
> [mm]|f_1(x)||f_2(x)|=\varepsilon|g_1(x)| K|g_2(x)|[/mm]
Naja "zusammensetzen"?
oben steht ja, was du zeigen musst:
Fange nun also an:
[mm] $|f_1(x)f_2(x)| \le \ldots \le \varepsilon*|g_1(x)*g_2(x)|$
[/mm]
> aber
> irgendwie komme ich da nicht weiter. kann/muss ich eine
> andere definition noch verwenden?
Nö, nur das oben:
Tip: Wieso gilt die Ungleichung oben für alle Epsilon? Wende erst die Abschätzung für [mm] $f_2$ [/mm] an und dann die für [mm] $f_1$.
[/mm]
Begründe jeden Schritt.
So nebenbei: Oben fehlt noch eine Bedingung.
> Ich komme an dieser Stelle einfach nicht weiter, ih habe im
> Skript/Buch nach den Definitionen geschaut, ich hoffe, dass
> ich die jetzt alle habe, die ich brauche!?
> Kannst du mir noch einen Tipp geben??
Schonmal in der Vorlesung gewesen?
MFG,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:45 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Lilium |
Hallo,
> > [mm]f_1(x)=o(g_1(x))[/mm] x [mm]\to \infty \gdw \forall \varepsilon>0: |f_1(x)|\le \varepsilon|g_1(x)|[/mm]
>
> > [mm]f_2(x)=O(g_2(x))[/mm] x [mm]\to \infty \gdw \exists[/mm] K>0: [mm]|f_2(x)|\le K|g_2(x)|[/mm]
>
> >
> > Ich muss zeigen, dass [mm]f_1(x)f_2(x)=o(g_1(x)g_2(x))[/mm] ,also
> > dass [mm]\forall \varepsilon>0: |f_1(x)f_2(x)| \le \varepsilon|g_1(x)g_2(x)|[/mm]
>
> Jo.
>
> > und ich dachte mir, dass ich das nun aus beiden
> > Definitionen zusammensetzen kann:
> > [mm]|f_1(x)||f_2(x)|=\varepsilon|g_1(x)| K|g_2(x)|[/mm]
>
> Naja "zusammensetzen"?
>
> oben steht ja, was du zeigen musst:
>
> Fange nun also an:
>
> [mm]|f_1(x)f_2(x)| \le \ldots \le \varepsilon*|g_1(x)*g_2(x)|[/mm]
[mm] |f_1(x)f_2(x)|= |f_1(x)||f_2(x)| \le |f_1(x)|K|g_2(x)| \le \varepsilon|g_1(x)|K|g_2(x)| [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] K [mm] |g_1(x)g_2(x)|
[/mm]
so, bis hierhin komme ich und kann auch alles begründen, für den letzten schritt, fällt mir gerade kein satz/def ein, was ich verwenden könnte...Kann ich das begründen, wie:
> Tip: Wieso gilt die Ungleichung oben für alle Epsilon?
ich dachte mir, dass ja es ja mindestens ein K gibt (laut def), für welches die Ungleichung (für alle Epsilon) gilt...(schwer zu beschreiben) Also es gibt immer ein K für [mm] |f_1(x)f_2(x)| \le \varepsilon [/mm] K [mm] |g_1(x)g_2(x)| [/mm] und damit gilt es (per def) für alle [mm] \varepsilon [/mm] ... ich hoffe, es ist halbwegs verständlich, was ich meine. Formal gilt es halt per Definition, dass ein K existiert und dass die Ungleichung für alle [mm] \varepsilon [/mm] gilt; und da es immer ein K gibt, gilt es für alle [mm] \varepsilon. [/mm] (vielleicht so noch besser verständlich). Kann ich das so sagen? und damit den Schluss ... [mm] \varepsilon |g_1(x)g_2(x)| [/mm] begründen?
> So nebenbei: Oben fehlt noch eine Bedingung.
oh, du meinst wahrscheinlich, dass die Definition mit [mm] \varepsilon [/mm] für o ist und die mit K für O, hab ich gerade im Buch gelesen.
> Schonmal in der Vorlesung gewesen?
ja, immer.
Viele Grüße
Lilium
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mo 03.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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