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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Mi 14.01.2009 | | Autor: | cleaner1 |
| Aufgabe | Untersuchen sie die Funktion [mm] f(x,y)=\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y} [/mm] mit x [mm] \not= [/mm] 0, y [mm] \not= [/mm] 0. Führen Sie unter der Nebenbedingung [mm] \bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{y^2}=\bruch{1}{a^2} [/mm] mit a=const. [mm] \not= [/mm] 0 bei Verwenung der Langrange'schen Multiplikatoren eine Extremwetbestimmung durch. Vereinfachen Sie das Ergebnis soweit wie möglich.
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Ich habe wieder mal ein Problem  aber ich denke für euch ist es bestimmt wiedermal kein Problem.
Ich schreibe meine bisherige Lösung auf.
[mm] f(x,y)=\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y}
[/mm]
[mm] g(x,y)=\bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{y^2}-\bruch{1}{a^2}
[/mm]
Langrange
[mm] h(x,y,a,\lambda)=f(x,y)+\lambda [/mm] * g(x,y)
[mm] hx=-x^{-2}+2x{-3}*\lambda
[/mm]
[mm] hy=-y^{-2}+2y{-3}*\lambda
[/mm]
[mm] ha=2a^{-3}*\lambda
[/mm]
[mm] h\lambda=\bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{y^2}-\bruch{1}{a^2}
[/mm]
dann stelle ich die erste Gleichung nach [mm] \lambda [/mm] umstelle bekomme ich
[mm] \lambda=\bruch{x^{-2}}{-2x^{-3}}=\bruch{1}{-2x}
[/mm]
aber das bringt mich alles nicht weiter vielleicht hat ja jemand einen tipp oder ich habe vielleicht schon vorher einen fehler gemacht.
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> Untersuchen sie die Funktion
> [mm]f(x,y)=\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y}[/mm] mit x [mm]\not=[/mm] 0, y [mm]\not=[/mm] 0.
> Führen Sie unter der Nebenbedingung
> [mm]\bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{y^2}=\bruch{1}{a^2}[/mm] mit a=const.
> [mm]\not=[/mm] 0 bei Verwenung der Langrange'schen Multiplikatoren
> eine Extremwetbestimmung durch. Vereinfachen Sie das
> Ergebnis soweit wie möglich.
>
> Ich habe wieder mal ein Problem aber ich denke für euch
> ist es bestimmt wiedermal kein Problem.
>
> Ich schreibe meine bisherige Lösung auf.
>
> [mm]f(x,y)=\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y}[/mm]
> [mm]g(x,y)=\bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{y^2}-\bruch{1}{a^2}[/mm]
>
> Langrange
>
> [mm]h(x,y,a,\lambda)=f(x,y)+\lambda[/mm] * g(x,y)
[mm]h_x=-x^{-2}\red{-}2x^{-3}*\lambda\red{=0}[/mm]
[mm]h_y=-y^{-2}\red{-}2y^{-3}*\lambda\red{=0}[/mm]
> dann stelle ich die erste Gleichung nach [mm]\lambda[/mm] umstelle
> bekomme ich
[mm] \red{\lambda=\bruch{-x}{2}} [/mm] und [mm] \red{\lambda=\bruch{-y}{2}} [/mm] und somit [mm] \red{x = y}.
[/mm]
Das in die Nebenbedingung eingesetzt gibt
[mm]\bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{x^2}=\bruch{2}{x^2}=\bruch{1}{a^2}[/mm] und damit [mm] x=y=a\wurzel{2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Mi 14.01.2009 | | Autor: | cleaner1 |
Oh vielen dank schon mal. Da habe ich beim abschreiben der Gleichungen ja auch noch ein paar Fehler gemacht, aber vor allem beim umstellen nach [mm] \lambda.
[/mm]
Ich habe es aber noch nicht ganz kapiert wie das geht magst du mir das vielleicht einmal erklären wie ich das richtig umstelle?
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Hallo,
deine Lagrange-Funktion war nicht richtig. a ist keine Variable. Und dann hattest Du noch falsch abgeleitet.
[mm] $L(x,y,\lambda)=\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y}+\lambda*\left( \bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{y^2}-\bruch{1}{a^2}\right)$ [/mm]
Nun leite 3 mal partiell ab und setze da Ergebnis gleich Null:
[mm] L_x [/mm] = ... = 0
[mm] L_y [/mm] = ... = 0
[mm] L_{\lambda} [/mm] = ... = 0
Aus den ersten 2 Ableitungen bastelst Du eine neue Gleichung, indem Du [mm] \lambda [/mm] sobald als möglich elimierst.
[mm] \lambda [/mm] wird nicht mehr benötigt.
Dann schaust Du, was dir diese Gleichung in Zusammenhang mit der Nebenbedingung (3. partielle Ableitung) sagt.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:51 Mi 14.01.2009 | | Autor: | cleaner1 |
Danke ich werde es morgen in neuer frische mal durchrechnen! Ich melde mich dann wieder wenn ich ein Problem bekomme.
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