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Laplace-Experiment: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:49 Do 22.05.2014
Autor: Mathics

Aufgabe
Ein Laplace-Experiment habe 6 verschiedene Ausgänge. Das Experiment wird 7 mal unabhängig voneinander wiederholt. Wie hoch ist Wahrscheinlichkeit, dass dabei jeder Ausgang des Laplace-Experiments mindestens einmal auftritt?

Hallo,

ich habe gerechnet:

6*5*4*3*2*1*6 / [mm] 6^7 [/mm] = 0,0154

Für die erste Ziehung gibt es 6 Möglichkeiten, für die zweite dann 5 (damit jedes erstmal einmal vorkommt) und für das letzte kann ja irgendeine der 6 Ausgänge genutzt werden.

Wenn ich jetzt in die Musterlösung schaue, erhalte ich ein anderes Ergebnis und ich weiß leider nicht, wie man darauf kommt:

[mm] \vektor{6 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{7 \\ 2} [/mm] * 5! / [mm] 6^7 [/mm] = 0,054


LG
Mathics

        
Bezug
Laplace-Experiment: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Do 22.05.2014
Autor: hippias

Bei deinem Modell koennen z.B. das Ergebniss der ersten und zweiten  Zufallsversuches nicht gleich sein, was aber laut Aufgabenstellung zugelassen ist.

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Laplace-Experiment: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Do 22.05.2014
Autor: Mathics

Dass die gleich sein können habe ich doch in [mm] 6^7 [/mm] berücksichtigt. In dem Zähler ist doch das Ereignis dargestellt, das gefragt wurde oder nicht?

Ich kann den Rechenweg leider nicht nachvollziehen.


LG
Mathics

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Laplace-Experiment: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:24 Do 22.05.2014
Autor: Sax

Hi,

die drei Faktoren im Zähler kommen folgendermaßen zustande :

Die Forderung, dass alle sechs Ergebnisse einmal vorkommen ist gleichwertig zu der Bedingung, dass genau ein Ergebnis genau zweimal vorkommt.
Dieses eine kann auf [mm] \vektor{6 \\ 1} [/mm] Arten aus den sechs Möglichkeiten ausgewählt werden.
Wenn etwa "4" das ausgewählte ist, so betrachtet man also einen Ausgang der Art  1  2  3  4  4  5  6. Wir fragen jetzt noch nach der Anzahl der möglichen Anordnungen dieser Zahlen. Zunächst wählen wir die zwei aus den sieben Plätzen aus, an denen die "4" steht (zweiter Faktor) und berücksichtigen schließlich die Anzahl möglicher Anordnungen der fünf Zahlen 1,2,3,5,6 (dritter Faktor).

Gruß Sax.

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Laplace-Experiment: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:56 Do 22.05.2014
Autor: Mathics

Hallo,

okay auf diese Weise kann ich den Rechenweg nun nachvollziehen, vielen Dank!

Wo mache ich bei meiner Rechnung denn den entscheidenden Denkfehler?

6*5*4*3*2*1*6 / $ [mm] 6^7 [/mm] $ = 0,0154

LG
Mathics

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Bezug
Laplace-Experiment: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:45 Fr 23.05.2014
Autor: hippias

Wie ich bereits sagte: du schliesst aus, dass z.B. die ersten beiden Versuchsausgaenge gleich sind. Denn du zaehlst ja so: $6$ Moeglichkeiten fuer das $1.$ Versuchsergebnis, dann einen weniger fuer den zweiten usw. Beim letzten dann wieder $6$ Moeglichkeiten. Du zaehlst also nur die Versuchsreihen, bei denen die ersten $6$ Versuchsausgaenge paarweise verschieden sind. Versuchsreihen wie $(1,1,2,3,4,5,6), (1,2,1,3,4,5,6)$ kommen bei dir also gar nicht vor, obwohl sie beruecksichtigt werden muessten.  

Bezug
        
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Laplace-Experiment: Formel richtig (aber logisch?)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:11 Fr 23.05.2014
Autor: rabilein1

  
> Musterlösung:
>  
> [mm]\vektor{6 \\ 1}[/mm] * [mm]\vektor{7 \\ 2}[/mm] * 5! / [mm]6^7[/mm] = 0,054

Irgendwie klingt das kompliziert.

Der Nenner ist klar: Es gibt insgesamt [mm] 6^{7} [/mm] mögliche Anordnungen

Aus dem Zähler kann man einfach machen: 6*7*6*5*4*3
Auf so viele Arten kann man in einer Siebener-Reihe 6 Zahlen anordnen, von denen genau eine doppelt vorkommt.

Welche Zahl doppelt vorkommt, dafür gibt es 6 Möglichkeiten. Das ist die erste 6.
Die erste nichtdoppelte Zahl kann man auf 7 Positionen stellen.
Die zweite nichtdoppelte auf 6 Positionen
....
Für die letzte nichtdoppelte Zahl bleiben dann noch 3 mögliche Positionen.

Ob diese Erklärung "logisch" ist, kann ich nicht beurteilen.
Auf jeden Fall ist sie "richtig" (unter der Voraussetzung, dass deine Lösungs-Formel richtig ist)


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Laplace-Experiment: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:33 Fr 23.05.2014
Autor: angela.h.b.

Hallo,

ich hab' jedenfalls richtig gut verstanden, wie man hier auf die Anzahl der Möglichkeiten kommen kann.

LG Angela

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