Laplace-Transformation (2) < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man berechne die Laplace-Transformierte der folgenden Funktion:
b) f(t)=sin(wt)*cos(wt) für w [mm] \not= [/mm] 0
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kann man hier den faltunssatz benutzen, also:
[mm] L[sin(wt)*cos(wt)]=L[\integral_{0}^{t}{sin(u)*cos(t-u) du}]
[/mm]
dann löse ich das integral und setze dann später für das u wieder das wt ein.
kann man das so machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Do 30.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Man berechne die Laplace-Transformierte der folgenden
> Funktion:
>
> b) f(t)=sin(wt)*cos(wt) für w [mm]\not=[/mm] 0
>
> kann man hier den faltunssatz benutzen, also:
>
> [mm]L[sin(wt)*cos(wt)]=L[\integral_{0}^{t}{sin(u)*cos(t-u) du}][/mm]
Nein , das ist doch Unsinn . Schau Dir den Faltungssatz nochmal an !
Tipp: partielle Integration
FRED
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> dann löse ich das integral und setze dann später für das u
> wieder das wt ein.
>
> kann man das so machen?
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also gut ich habe jetzt folgendes versucht, allerdings erscheint mir der rechenaufwand ziemlich enorm.
[mm] L[f(t)]=\integral_0^{\infty} sin(wt)*cos(wt)*e^{-st} [/mm] dt
u=sin(wt)*cos(wt)
[mm] v'=e^{-st}
[/mm]
[mm] u'=cos^2(wt)*w-sin^2(wt)*w
[/mm]
[mm] v=-\bruch{1}{s}*e^{-st}
[/mm]
[mm] \integral_0^{\infty} sin(wt)*cos(wt)*e^{-st} dt=-\bruch{1}{s}*e^{-st}*sin(wt)*cos(wt)-\integral_0^{\infty} -\bruch{1}{s}*e^{-st}*(cos^2(wt)*w-sin^2(wt)*w) [/mm] dt
[mm] u'=-\bruch{1}{s}*e^{-st}
[/mm]
[mm] v=w*(cos^2(wt)-sin^2(wt))
[/mm]
[mm] u=e^{-st}
[/mm]
[mm] v'=-4sin(wt)cos(wt)w^2
[/mm]
[mm] \integral_0^{\infty} sin(wt)*cos(wt)*e^{-st} dt=-\bruch{e^{-st}}{s}*sin(wt)*cos(wt)-(e^{-st}*w*(cos^2(wt)-sin^2(wt)+4w^2*\integral_0^{\infty} sin(wt)*cos(wt)*e^{-st} [/mm] dt)
[mm] \integral_0^{\infty} sin(wt)*cos(wt)*e^{-st} dt=-\bruch{e^{-st}}{s}*sin(wt)*cos(wt)-e^{-st}*w*(cos^2(wt)-sin^2(wt))-4w^2*\integral_0^{\infty} sin(wt)*cos(wt)*e^{-st} [/mm] dt
[mm] \integral_0^{\infty} sin(wt)*cos(wt)*e^{-st} dt=\bruch{-\bruch{e^{-st}}{s}*sin(wt)*cos(wt)-e^{-st}*w*(cos^2(wt)-sin^2(wt))}{1+4w^2}
[/mm]
[mm] \integral_0^{\infty} sin(wt)*cos(wt)*e^{-st} dt=\bruch{-e^{-st}(\bruch{sin(wt)*cos(wt)}{s}+w*(cos^2(wt)-sin^2(wt))}{1+4w^2}
[/mm]
das wäre meine lösung, ist sie richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Fr 31.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> also gut ich habe jetzt folgendes versucht, allerdings
> erscheint mir der rechenaufwand ziemlich enorm.
Tipp: [mm] $2\sin(wt)*\cos(wt) [/mm] = [mm] \sin(2wt) [/mm] $.
> [mm]L[f(t)]=\integral_0^{\infty} sin(wt)*cos(wt)*e^{-st}[/mm] dt
>
> u=sin(wt)*cos(wt)
>
> [mm]v'=e^{-st}[/mm]
>
> [mm]u'=cos^2(wt)*w-sin^2(wt)*w[/mm]
>
> [mm]v=-\bruch{1}{s}*e^{-st}[/mm]
>
>
>
> [mm]\integral_0^{\infty} sin(wt)*cos(wt)*e^{-st} dt=-\bruch{1}{s}*e^{-st}*sin(wt)*cos(wt)-\integral_0^{\infty} -\bruch{1}{s}*e^{-st}*(cos^2(wt)*w-sin^2(wt)*w)[/mm]
> dt
>
> [mm]u'=-\bruch{1}{s}*e^{-st}[/mm]
>
> [mm]v=w*(cos^2(wt)-sin^2(wt))[/mm]
>
> [mm]u=e^{-st}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm]u= \bruch{1}{s^2} e^{-st}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Sa 08.11.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
ok thx fürs durchschauen hab den fehler korrigiert
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