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Laplace: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:46 Fr 13.06.2014
Autor: Mathics

Aufgabe
Ein Laplace-Experiment habe 6 verschiedene Ausgänge. Das Experiment wird 7 mal unabhängig voneinander wiederholt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei jeder Ausgang des Laplace-Experiments mindestens einmal auftritt?

Hallo,

ich habe gerechnet:

6*5*4*3*2*1*6 / [mm] 6^7 [/mm] = 0,0154

Meine Begründung: Damit zunächst einmal jeder Ausgang einmal auftritt, gibt es 6 Möglichkeiten für den ersten, 5 für den zweiten usw. Am Ende kann dann jedes beliebige von den 6 Ausgängen auftreten. Insgesamt, da es Ziehen ohne Zurücklegen ist, gibt es [mm] 6^7 [/mm] Möglichkeiten.


In der Lösung heißt es aber anders:

[mm] \vektor{6 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{7 \\ 2} [/mm] * 5! / [mm] 6^7 [/mm] = 0,054

Hier hat man wohl gerechnet, das es 6 * 7über2 Möglichkeiten gibt, bei 7 Wiederholungen zwei gleiche Ausgänge zu erhalten. Anschließen wird da der Rest der jeweils einmal auftretenden Ereignisse angehängt.


Mein Problem: Wieso ist meine Version falsch bzw. wo liegt der zentrale gedankliche Unterschied?


LG
Mathics

        
Bezug
Laplace: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 Fr 13.06.2014
Autor: Diophant

Hallo Mathics,

> Ein Laplace-Experiment habe 6 verschiedene Ausgänge. Das
> Experiment wird 7 mal unabhängig voneinander wiederholt.
> Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei jeder
> Ausgang des Laplace-Experiments mindestens einmal
> auftritt?
> Hallo,

>

> ich habe gerechnet:

>

> 6*5*4*3*2*1*6 / [mm]6^7[/mm] = 0,0154

>

> Meine Begründung: Damit zunächst einmal jeder Ausgang
> einmal auftritt, gibt es 6 Möglichkeiten für den ersten,
> 5 für den zweiten usw. Am Ende kann dann jedes beliebige
> von den 6 Ausgängen auftreten. Insgesamt, da es Ziehen
> ohne Zurücklegen ist, gibt es [mm]6^7[/mm] Möglichkeiten.

Gleich vorneweg dein kardinaler Denkfehler: im Nenner berücksichtigst du die Reihenfolge, im Zähler nicht. Mache dir das klar!

>
>

> In der Lösung heißt es aber anders:

>

> [mm]\vektor{6 \\ 1}[/mm] * [mm]\vektor{7 \\ 2}[/mm] * 5! / [mm]6^7[/mm] = 0,054

>

> Hier hat man wohl gerechnet, das es 6 * 7über2
> Möglichkeiten gibt, bei 7 Wiederholungen zwei gleiche
> Ausgänge zu erhalten. Anschließen wird da der Rest der
> jeweils einmal auftretenden Ereignisse angehängt.

>

Es gibt 6 Möglichkeiten für das doppelt vorkommende Ergebnis. Dieses lässt sich auf insgesamt [mm] \vektor{7\\2} [/mm] Plätze bugsieren, während es für die fünf anderen Ergebnisse 5! mögliche Belegungen sind.
 
>

> Mein Problem: Wieso ist meine Version falsch bzw. wo liegt
> der zentrale gedankliche Unterschied?

Wie gesagt: du beachtest im Nenner die Reihenfolge, im Zähler jedoch nicht.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Laplace: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:53 Sa 14.06.2014
Autor: Mathics

Hallo,

wieso berücksichtige ich im Zähler denn nicht die Reihenfolge?  Ich habe doch eine Permutation und die ist laut Wikipedia definiert als "Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge".


LG
Mathics

Bezug
                        
Bezug
Laplace: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Sa 14.06.2014
Autor: Diophant

Hallo,

hast du dir denn auch Gedanken über meine Antwort gemacht? Was eine Permutation ist, das weiß ich ehrlich gesagt ganz gut, ebenso was man unter einer Kombination versteht...

Deine Rechnung zählt zwar für 6 Ergebnisse die Anzahl der Permutationen, aber mit dem doppelt vorkommenden E. gehst du völlig falsch um.

Und ich sehe nicht so ganz ein, weshalb ich mir jetzt nochmal eine Erklärung für die richtige Musterlösung ausdenken soll, wenn du schon auf die vorige nicht eingegangen bist.

In deiner Rechnung jedenfalls wird nicht berücksichtigt, an welchen Positionen die beiden Doppel eintreten. Und ich kann es mir nicht verkneifen: so was kommt halt dabei heraus, wenn Wikipedia die einzige Quelle ist, die man studiert...

Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Laplace: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:27 Sa 14.06.2014
Autor: Mathics

Hallo Diophant,

bei den Kombinatorik Aufgaben versuch ich ganz gerne einen eigenen Lösungsweg zu finden und deshalb hab ich mir einen Alternative zur Musterlösung ausgedacht. Ich bin gespannt, ob Sie Sinn ergibt.


[mm] (6*5*4*3*2*1*7*6/6^7) [/mm] / 2 = 0,054

Ich hab mir dabei folgendes Gedacht: 6! Möglichkeiten, das mit Berücksichtigung der Reihenfolge, jeder Ausgang einmal vorkommt. Am Ende gibt es 6 Möglichkeiten, einen doppelten Ausgang auszuwählen und dieser kann an 7 verschiedenen Positionen auftreten (hier also wieder die Reihenfolge berücksichtigen, war das also mein zentraler Fehler?). Die Gesamtmöglichkeiten sind [mm] 6^7. [/mm] Da wir ja jetzt 2 Stück doppelt haben, müssen wir durch 2! teilen.  In der Musterlösung musste man das nicht, weil man die mit dem Binomialkoeffizienten gerechnet hat.


War meine Interpretation der Musterlösung in meinem ersten Beitrag korrekt?

[mm] \vektor{6 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{7 \\ 2} [/mm] * 5! / [mm] 6^7 [/mm] = 0,054

> Hier hat man wohl gerechnet, das es 6 * 7über2 Möglichkeiten gibt, bei 7   Wiederholungen zwei gleiche Ausgänge zu erhalten. Anschließen wird da der  Rest der jeweils einmal auftretenden Ereignisse angehängt.


LG
Mathics

Bezug
                                        
Bezug
Laplace: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 Sa 14.06.2014
Autor: Diophant

Hallo Mathics,

vorneweg: vom WP8 aus kann ich leider nicht zitieren.

Jetzt stimmt deine Rechnung, deinen richtigen Denkansatz hast du auch gut erläutert und auch deinen Denkfehler verstanden: die möglichen Kombinationen des doppelten Ergebnisses mit den anderen hattest du nicht berücksichtigt.

Auch deine Interpretation der Musterlösung kann man jetzt nicht als falsch bezeichnen, sie ist für meinen Geschmack nur zu unpräzise. In der Kombinatorik sollte man sich angewöhnen, zu formulieren wie ein absolut penibler Jurist: allzu leicht gibt es sonst Missverständnisse durch unterschiedliche Interpretationsmöglichkeiten.

Nochmal zur Musterlösung: die 6 Möglichkeiten für das Doppel als Binomialkoeffizient [mm] \vektor{6\\1} [/mm] zu schreiben, das könnte man schon fast als 'overdressed' bezeichnen. ;-)

Gruß, Diophant

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