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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:42 Do 15.11.2007 | | Autor: | o.tacke |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, sei A = [mm] \pmat{ \* & \* & \ldots & \* & a_n \\ \* & \* & \ldots & a_{n-1} & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ \* & a_2 & \ldots & 0 & 0 \\ a_1 & 0 & \ldots & 0 & 0 }\in\M_{nn}(K).
[/mm]
Dabei bezeichnet [mm] \* [/mm] ein beliebiges Körperelement.
Beweisen Sie die Formel [mm] det(A)=(-1)^\bruch{n(n-1)}{2}a_1a_2{\cdots}a_n. [/mm] |
Mir fehlt hier der passende Ansatz.
Zuerst habe ich versucht, von einer unteren Dreiecksmatrix auszugehen (mit [mm] a_1 [/mm] links oben und [mm] a_n [/mm] rechts unten), bei der det(A) gerade das Produkt der Elemente in der Diagonalen [mm] (a_1a_2{\cdots}a_n) [/mm] ist, und die Matrix dann durch Tauschen von Zeilen in die Form der Aufgabenstellung zu bringen. Je nachdem, wie viele Vertauschungen man durchführt, ändert sich die Determinante (wird mit jedem Schritt mit -1 multipliziert).
Man tauscht stets die 1. mit der n. Zeile, die 2. Zeile mit der n-1. Zeile, die 3. Zeile mit der n-2. Zeile usw. bis man in der Mitte angekommen ist. Wenn n ungerade ist, "spart" man sich eine Tauschung der Zeile in der Mitte.
Dann benötigt man also eine Funktion, die die Anzahl der Vertauschungen für eine nxn-Matrix bestimmt. Dann ergibt [mm] (-1)^{f(n)} [/mm] den Faktor, mit der [mm] a_1a_2{\cdots}a_n [/mm] zu multiplizieren ist, um die Determinante korrekt wiederzugeben. "Zufälligerweise" erfüllt gerade [mm] f(n)=\bruch{n(n-1)}{2} [/mm] diese Anforderung, aber das kann ich ja nicht einfach so hinschreiben.
Vielversprechender erschien es mir dann, zu Laplace zu greifen, weil in den Matrizen (und "Untermatrizen") ja stets nur ein von 0 verschiedenes Element steht. Die Formel wollte ich dann per Induktion über n beweisen, aber ich scheitere schon am Aufstellen der Induktionsbehauptung. Ich weiß nicht, wie ich die "Rekursion" der Laplace'schen Formel abbilden kann.
Im Prinzip kommt, geht man von links unten nach recht oben, sowas raus wie...
[mm] det(A)=(-1)^{(n-k)+(1+k)}*a_{(1+k)}*det(A_{(n-k) (1+k)})
[/mm]
und k läuft dabei von 0 bis n-1.
Und das müsste für alle n stets [mm] det(A)=(-1)^\bruch{n(n-1)}{2}a_1a_2{\cdots}a_n [/mm] entsprechen.
Kann mit jemand bei der 1. oder 2. Variante helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Do 22.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei K ein Körper, sei A = [mm]\pmat{ \* & \* & \ldots & \* & a_n \\ \* & \* & \ldots & a_{n-1} & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ \* & a_2 & \ldots & 0 & 0 \\ a_1 & 0 & \ldots & 0 & 0 }\in\M_{nn}(K).[/mm]
>
> Dabei bezeichnet [mm]\*[/mm] ein beliebiges Körperelement.
> Beweisen Sie die Formel
> [mm]det(A)=(-1)^\bruch{n(n-1)}{2}a_1a_2{\cdots}a_n.[/mm]
> Mir fehlt hier der passende Ansatz.
>
> Zuerst habe ich versucht, von einer unteren Dreiecksmatrix
> auszugehen (mit [mm]a_1[/mm] links oben und [mm]a_n[/mm] rechts unten), bei
> der det(A) gerade das Produkt der Elemente in der
> Diagonalen [mm](a_1a_2{\cdots}a_n)[/mm] ist, und die Matrix dann
> durch Tauschen von Zeilen in die Form der Aufgabenstellung
> zu bringen. Je nachdem, wie viele Vertauschungen man
> durchführt, ändert sich die Determinante (wird mit jedem
> Schritt mit -1 multipliziert).
> Man tauscht stets die 1. mit der n. Zeile, die 2. Zeile
> mit der n-1. Zeile, die 3. Zeile mit der n-2. Zeile usw.
> bis man in der Mitte angekommen ist. Wenn n ungerade ist,
> "spart" man sich eine Tauschung der Zeile in der Mitte.
> Dann benötigt man also eine Funktion, die die Anzahl der
> Vertauschungen für eine nxn-Matrix bestimmt. Dann ergibt
> [mm](-1)^{f(n)}[/mm] den Faktor, mit der [mm]a_1a_2{\cdots}a_n[/mm] zu
> multiplizieren ist, um die Determinante korrekt
> wiederzugeben. "Zufälligerweise" erfüllt gerade
> [mm]f(n)=\bruch{n(n-1)}{2}[/mm] diese Anforderung, aber das kann ich
> ja nicht einfach so hinschreiben.
>
> Vielversprechender erschien es mir dann, zu Laplace zu
> greifen, weil in den Matrizen (und "Untermatrizen") ja
> stets nur ein von 0 verschiedenes Element steht. Die Formel
> wollte ich dann per Induktion über n beweisen, aber ich
> scheitere schon am Aufstellen der Induktionsbehauptung. Ich
> weiß nicht, wie ich die "Rekursion" der Laplace'schen
> Formel abbilden kann.
Der Induktionsanfang für n=2 ist ja einfach.
Wenn du von links unten anfängst, dann hast du doch
[mm]\det(A)=(-1)^{n-1}\cdot \det(A_{n1})[/mm],
wobei [mm]A_{n1}[/mm] die Matrix ist, die durch Streichen der ersten Spalte und letzten Zeile entsteht. Diese Matrix ist aber wieder von der gegebenen Form. Damit hast du deinen Induktionsschritt.
Viele Grüße
Rainer
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