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Laplace Operator: Eigenwertgleichung
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:09 Mo 03/11/2014
Author: c0d3x

Aufgabe
Die Eigenwertgleichung für den Laplace-Operator mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen lautet im Zweidimensionalen
[mm] \\ [/mm]
[mm] \begin{matrix} \Delta u := u_{xx} + u_{yy} = \lambda u \\ u(x, 0) = u(x, b) = u=(0, y) = u(a,y) = 0, \ x \in [0,a], y \in [0, b] \end{matrix}\\ [/mm]
Bestimme mit dem Separationsansatz Funktionen u(x, y) der Form X(x)Y(y) die dieses Problem lösen. Welche werte für [mm] $\lambda$ [/mm] ergeben nicht nur Lösungen $u(x,y) [mm] \equiv [/mm] 0$

Also ich hab bisher folgendes :
[mm] \[\] Gegeben ist die Eigenwertgleichung des Laplace-Operators : \[ u : = u_{x x} + u_{y y} = \lambda u \] \[ u_{x x} + u_{y y} - \lambda u = 0 \] Bestimme nichttriviale L{ö}sungen mit Separationsansatz : \[ u = X (x) Y (y) \] \[ u_x = X (x) \cdot 0 + X' (x) \cdot Y (y) = X' (x) \cdot Y (y) \] \[ u_{x x} = X' (x) \cdot 0 \noplus + X'' (x) \cdot Y (y) = X'' (x) \cdot Y (y) \] \[ u_y = Y (y) \cdot 0 + Y' (y) \cdot X (x) = Y' (y) \cdot X (x) \] \[ u_{y y} = Y' (y) \cdot 0 \noplus + Y'' (y) \cdot X (x) = Y'' (y) \cdot X (x) \] Einsetzen in gegebene Differentialgleichung : \[ X'' (x) Y (y) + Y'' (y) X (x) = \lambda X (x) Y (y) \] \[ \ \] \[ \frac{X'' (x)}{X (x)} + \frac{Y'' (y)}{Y (y)} = \lambda \] [/mm]

hier bin bleib ich jetzt hängen und zweifel an meinem Ansatzt also [mm]\[ u = X (x) Y (y) \][/mm] ... falls der ok ist würde ich mich über einen tip, wie ich jetzt weitermachen kann, freuen ... :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Laplace Operator: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:18 Mo 03/11/2014
Author: fred97


> Die Eigenwertgleichung für den Laplace-Operator mit
> homogenen Dirichlet-Randbedingungen lautet im
> Zweidimensionalen
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm] \begin{matrix} \Delta u := u_{xx} + u_{yy} = \lambda u \\ u(x, 0) = u(x, b) = u=(0, y) = u(a,y) = 0, \ x \in [0,a], y \in [0, b] \end{matrix}\\ [/mm]
>  
> Bestimme mit dem Separationsansatz Funktionen u(x, y) der
> Form X(x)Y(y) die dieses Problem lösen. Welche werte für
> [mm]\lambda[/mm] ergeben nicht nur Lösungen [mm]u(x,y) \equiv 0[/mm]
>  Also
> ich hab bisher folgendes :
>  [mm] \[\] Gegeben ist die Eigenwertgleichung des Laplace-Operators : \[ u : = u_{x x} + u_{y y} = \lambda u \] \[ u_{x x} + u_{y y} - \lambda u = 0 \] Bestimme nichttriviale L{ö}sungen mit Separationsansatz : \[ u = X (x) Y (y) \] \[ u_x = X (x) \cdot 0 + X' (x) \cdot Y (y) = X' (x) \cdot Y (y) \] \[ u_{x x} = X' (x) \cdot 0 \noplus + X'' (x) \cdot Y (y) = X'' (x) \cdot Y (y) \] \[ u_y = Y (y) \cdot 0 + Y' (y) \cdot X (x) = Y' (y) \cdot X (x) \] \[ u_{y y} = Y' (y) \cdot 0 \noplus + Y'' (y) \cdot X (x) = Y'' (y) \cdot X (x) \] Einsetzen in gegebene Differentialgleichung : \[ X'' (x) Y (y) + Y'' (y) X (x) = \lambda X (x) Y (y) \] \[ \ \] \[ \frac{X'' (x)}{X (x)} + \frac{Y'' (y)}{Y (y)} = \lambda \] [/mm]


Ja, das gilt für alle x [mm] \in [/mm] [0,a]  und alle y [mm] \in [/mm] [0,b].

Überlege Dir, dass [mm] \frac{X'' (x)}{X (x)} [/mm] auf [0,a] und [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} [/mm] auf [0,b]
konstant ist

FRED>  

> hier bin bleib ich jetzt hängen und zweifel an meinem
> Ansatzt also [mm]\[ u = X (x) Y (y) \][/mm] ... falls der ok ist
> würde ich mich über einen tip, wie ich jetzt weitermachen
> kann, freuen ... :)
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
        
Bezug
Laplace Operator: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:52 Mo 03/11/2014
Author: c0d3x

Bei
[mm] \begin{matrix} x \in [0,a], y \in [0, b] \\ \end{matrix} [/mm]

sind die Funktionswerte doch konst. 0, richtig ?
die schliesse ich doch mit der Division durch $u$ aus und komme so auf [mm]\[ \frac{X'' (x)}{X (x)} + \frac{Y'' (y)}{Y (y)} = \lambda \][/mm] ... ich möchte ja von $0$ verschiedene Lösungen für [mm] $\lambda$ [/mm]

Verstehe leider deinen Hinweis nicht ganz, ich hab versucht mir das klar zu machen und wie ich das benutzen könnte aber kannst du mir vllt. noch einen hinweis geben ... :) ?

Bezug
                
Bezug
Laplace Operator: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 19:42 Mo 03/11/2014
Author: andyv

Hallo,

du zeigst  $  [mm] \frac{X'' (x)}{X (x)}=c$ $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (0,a)$ und  $   [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} [/mm] = [mm] \lambda-c [/mm]  $ [mm] $\forall [/mm] y [mm] \in [/mm] (0,b)$ für ein $c [mm] \in \IR$ [/mm] und löst die beiden ODEs bzw. die zugehörigen RWA.

Liebe Grüße

Bezug
                        
Bezug
Laplace Operator: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 20:24 Mo 03/11/2014
Author: c0d3x

An sowas hab ich auch schon gedacht
$ [mm] \frac{X'' (x)}{X (x)}=c [/mm] $,
$ [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} [/mm] = [mm] \lambda-c [/mm] $
aber ich weiss nicht wie ich da formal hinkomme ...
wie kommt denn das [mm] $\lambda [/mm] - c$ zustande ...

... :(


Bezug
                                
Bezug
Laplace Operator: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 22:20 Mo 03/11/2014
Author: andyv

Wäre $  [mm] \frac{X'' (x)}{X (x)} [/mm] $ nicht konstant, so gäbe es [mm] $c_1, c_2 \in \IR$ [/mm] mit $  [mm] c_1 \equiv \frac{Y'' (y)}{Y (y)} \equiv c_2$ [/mm] und [mm] $c_1 \neq c_2$, [/mm] was absurd ist.

Aus $ [mm] \[ \frac{X'' (x)}{X (x)} [/mm] + [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} \equiv \lambda \] [/mm] $ und $ [mm] \frac{X'' (x)}{X (x)} \equiv [/mm] c $ folgt dann $ [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} \equiv \lambda-c [/mm] $.

Liebe Grüße

Bezug
                                
Bezug
Laplace Operator: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 07:16 Di 04/11/2014
Author: fred97


> An sowas hab ich auch schon gedacht
> [mm]\frac{X'' (x)}{X (x)}=c [/mm],
> [mm]\frac{Y'' (y)}{Y (y)} = \lambda-c[/mm]
>  aber ich weiss nicht wie
> ich da formal hinkomme ...
>  wie kommt denn das [mm]\lambda - c[/mm] zustande ...
>  
> ... :(

Wir haben  $ [mm] \[ \frac{X'' (x)}{X (x)} [/mm] + [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} [/mm] = [mm] \lambda \] [/mm] $  für alle x [mm] \in [/mm] [0,a]  und alle y [mm] \in [/mm] [0,b].

Nun sei [mm] y_0 \in [/mm] [0,b] zunächst fest. Dann haben wir

   $ [mm] \[ \frac{X'' (x)}{X (x)} [/mm] =- [mm] \frac{Y'' (y_0)}{Y (y_0)} [/mm] + [mm] \lambda \] [/mm] $   für alle x [mm] \in [/mm] [0,a]

[mm] \frac{X'' (x)}{X (x)} [/mm] ist also konstant, etwa =c.

Wir haben also

    $ [mm] \[ [/mm] c =- [mm] \frac{Y'' (y_0)}{Y (y_0)} [/mm] + [mm] \lambda \] [/mm] $  für alle [mm] y_0 \in [/mm] [0,b]

Damit ist [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} [/mm] konstant = [mm] \lambda-c [/mm]

FRED

>  


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