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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:47 Do 28.09.2006 | | Autor: | MatheKrissy |
| Aufgabe | Stellen sie die zugehörige Differenzialgleichung für die Ladung Q(t) auf, wenn der Kondensator die Kapazität C= 0,125F, die Spule die Induktivität L= 1H hat, der ohmsche Widerstand R= 1 Ohm beträgt und die äußere Spannung U(t)=sin t ist.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo! Kann mir jemand ganz leicht verständlich die Laplace Transformation erklären? Anhand eines Strom kreises?
Habe aber keinerlei Ahnung von Physik und von Laplace nur was bei der Besprechung der Aufgabe behandelt wurde.
Verstehe nicht wirklich, warum die Spannung oder Spannungsquelle? Negativ mit in die Aufgabe einfließen muss. Wäre ganz lieb, wenn mir das jemand erklären könnte. Das Modul heißt übrigens mathematische Modellbildung. Vielen Dank im Voraus.
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Ich denke erstmal, hier fehlt sowas wie ein Schaltplan. Ohne den kann dir wohl einer so recht helfen.
Vielleicht als Ansatz:
Der Kondensator trägt eine Ladung Q, und seine Spannung ist davon abhängig: [mm] $U_C=C*Q$
[/mm]
Wenn jetzt Strom fließt, ändert sich die Ladung entsprechend: [mm] $I=\bruch{d}{dt}Q(t)=\bruch{d}{dt}\bruch{U_C(t)}{C}=\bruch{1}{C}\bruch{d}{dt}{U_C(t)}$
[/mm]
Jetzt legstdu von außen deine Sinus-Spannung an, die ist also genausogroß:
[mm] $\bruch{1}{C}\bruch{d}{dt}{U_C(t)}=U_0\sin(t)$
[/mm]
Ist dir das bis hier hin schonmal klar?
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Also: Habe den Ansatz so
für Kondensator: Q= e F/d *U, wobei e=8,8542*10^-12 As/vm (Konstante)
F= Fläche
d= Abstand der Platten
U= Spannung
Ladung proportional zur Spannung
für Spule: Uind= -M* dI/dt (negativ, da der ursprünglichen Spannung entgegen ....WARUM???....) M0allg. Konstante
Spannung proportional zum Induktionsfluss
somit: Uind= (m N²)/l *F*dI/dt, mit N=Anzahl der Windungen
l=Länge der Spule
m= 4p*10-³ Vs/Am
Ist das immer so? Kann man das blind übernehmen als Ansatz oder muss ich das verstehen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Ja, das ist erstmal immer so.
Dein Ansatz zum Kondensator ist ja identisch mit meinem, allerdings hast du die Kapazität noch bei dir mit drin, ich habe die gleich als Konstante C.
Die Kapazität gibt an, welche Spannung ein Kondensator hat, wenn er eine gewisse Ladung aufgenommen hat. Das heißt einfach C= U/Q oder U=CQ.
Beachte nun, daß die Ladung ja sowas wie Strom x Zeit ist. Also hier als Integral:
[mm] $U_C=C\integral [/mm] I(t)dt$
Wenn du an eine Spule Spannung anlegst, fängt ein Strom an zu fließen. Dieser baut ein magnetfeld auf, und das Magnetfeld selber erzeugt im Leiter auch eine Spannung, die deiner angelegten Spannung entgegen wirkt. Das hat quasi zur Folge, daß dein Strom erstmal klein ist, aber allmählich anwächst. Irgendwann ist das Magnetfeld dann aufgebaut, es wird kein Gegenfeld erzeugt, und der Strom fließt so weit es die Spule zuläßt.
Nochmak kurz: Wenn der Strom anfängt zu fließen, erzeugt die Spule eine Spannung in GEGENrichtung, und zwar abhängig davon, wie schnell der Strom steigt. Also
[mm] $U_L=-M\bruch{d}{dt}I(t)$
[/mm]
Wegen der Gegenrichtung ist diese Spannung negativ.
Für den Widerstand gilt ja einfach das Ohmsche Gesetz [mm] $U_\Omega=R [/mm] *I$ oder, zeitlich [mm] $U(t)_\Omega=R [/mm] I(t)$
Jetzt betrachen wir alle Spannungen zusammen:
[mm] $U_{ges}=U_C+U_\Omega+U_L$
[/mm]
[mm] $U_{ges}=C\integral [/mm] I(t)dt+R [mm] I(t)-M\bruch{d}{dt}I(t)$
[/mm]
Jetzt ist die Spannungsquelle auch noch drin, und es gilt dann, daß die Gesamtspannung 0 ist.
[mm] $0=C\integral [/mm] I(t)dt+R [mm] I(t)-M\bruch{d}{dt}I(t)+U_0\sin(t)$
[/mm]
Wenn du die Spannung auf die andere Seite bringst, wird sie negativ.
Soweit verstanden?
Um das zu lösen, wird die laplace-Trafo benutzt, aber die kann ich jetzt grade nicht. Evtl heute abend.
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Ja prima! Das hilft zum Verstehen. Danke. Mein nächster Schritt:
L [mm] *d^{2}Q(t)/dt^{2}+R* [/mm] dQ(t)/dt +1/c * Q(t)= U(t)
(allerdings weis ich noch nicht so genau, wo das L herkommt)
[mm] f:[0,\infty)-->R
[/mm]
somit L [f](s)=F(s)= [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t) dt} [/mm] ist die Laplace Transformierte
Ist in diesem Fall (e hoch minus st) wieder immer so und ich setze meine Funktion nur für f(x) ein?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hm. Das war wohl nix.
Ja prima! Das hilft zum Verstehen. Danke. Mein nächster Schritt:
L*d^2*Q(t)/dt^2 + R*d*Q(t)/dt + 1/c * Q(t)= U(t)
(allerdings weis ich noch nicht so genau, wo das L herkommt)
f:[0,\unendl)-->R
somit L [f](s)=F(s)="integral von 0 bis unendl" e^-st*f(t) dt} ist die Laplace Transformierte
Ist in diesem Fall (e hoch minus st) wieder immer so und ich setze meine Funktion nur für f(x) ein?
Das mit den mathematischen Zeichen muss ich noch üben :)
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Dein erster beitrag ist doch eigentlich ganz gut...
Nun, das L ist eigendlich die Induktivität, also das, was die Kapazität C beim Kondensator ist.
Ich hatte mich schon über dein M gewundert...
Und du hast recht, du mußt diese Funktion jetzt laplace-transformieren.
Dazu ein paar Tipps:
[mm] $\mathcal{L}(\sin(\omega t))=\bruch{\omega}{s^2+\omega^2}$
[/mm]
(das [mm] \mathcal{L} [/mm] bedeutet eben, daß du diese Funktion Laplace-transformierst)
[mm] $\mathcal{L}(\bruch{d}{dt}f(t))=sF(s)-f(0+)$
[/mm]
Hierbei ist F(s) die Laplacetransformierte von f(t), und f(0+) ist der rechtsseitige Limes der Funktion f bei t=0 - sagen wir einfach, das ist der Anfangswert beit t=0, also auch eine Konstante!
[mm] $\mathcal{L}(\bruch{d^2}{dt^2}f(t))=s^2F(s)-sf(0+)-f'(0+)$
[/mm]
Auch hier ist f' ein Anfangswert, also konstant.
Mit Hilfe dieser Formeln kannst du die Laplace-Transformierte einfach hinschreiben. Du mußt nix rechnen!
Stelle dann die gesamte Gleichung so um, daß da F(s)=... steht. DAs, was rechts davon steht, ist die Lösung der Differenzialgleichung im laplace-Raum. Wenn du es schaffst, diese Formel zurückzutransformieren, hast du die Lösung!
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