Laplaceoperator < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f((x,y,z)=1/\wurzel[2]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
[/mm]
z.z [mm] \Delta(f(x)=0 [/mm] |
Wir sollen hier also zeigen , dass der Laplaceoperator=0 ist.
Definiert ist [mm] \Delta(f(x)=div [/mm] (grad f)
Mit dem Grad zu berechnen tu ich mich nicht schwer , der lässt sich ja berechnen durch
[mm] \partialf/\partialx [/mm] = [mm] -1x*\wurzel[2]{x^{2}+y^{2}+z^{2}^{-3}} [/mm] , analog für z,y.
Dadurch ergibt sich ja mein Vektor. Aber wie das mit der Divergenz läuft weiß ich nicht.
Also müssten wir berechnen , falls ich mich nicht verrechnet habe:
Div (grad f) = div( [mm] \vektor{-1x*(\wurzel[2]{x^{2}+y^{2}+z^{2}} ^{-3}\\ -1y*(\wurzel[2]{x^{2}+y^{2}+z^{2})} ^{-3} \\ -1z*(\wurzel[2]{x^{2}+y^{2}+z^{2})} ^{-3}\}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Di 02.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f((x,y,z)=1/\wurzel[2]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}[/mm]
> z.z [mm]\Delta(f(x)=0[/mm]
> Wir sollen hier also zeigen , dass der Laplaceoperator=0
> ist.
> Definiert ist [mm]\Delta(f(x)=div[/mm] (grad f)
> Mit dem Grad zu berechnen tu ich mich nicht schwer , der
> lässt sich ja berechnen durch
> [mm]\partialf/\partialx[/mm] = [mm]-1x*\wurzel[3]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}[/mm] ,
Das stimmt aber nicht ! Wo kommt denn die 3. Wurzel her ??
FRED
> analog für z,y.
> Dadurch ergibt sich ja mein Vektor. Aber wie das mit der
> Divergenz läuft weiß ich nicht.
> Also müssten wir berechnen , falls ich mich nicht
> verrechnet habe:
> Div (grad f) = div(
> [mm]\vektor{-1x*\wurzel[3]{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \\ -1y*\wurzel[3]{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \\ -1z*\wurzel[3]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}[/mm]
> )
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Di 02.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]f((x,y,z)=1/\wurzel[2]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}[/mm]
> z.z [mm]\Delta(f(x)=0[/mm]
> Wir sollen hier also zeigen , dass der Laplaceoperator=0
> ist.
> Definiert ist [mm]\Delta(f(x)=div[/mm] (grad f)
> Mit dem Grad zu berechnen tu ich mich nicht schwer , der
> lässt sich ja berechnen durch
> [mm]\partialf/\partialx[/mm] =
> [mm]-1x*\wurzel[2]{x^{2}+y^{2}+z^{2}^{-3}}[/mm] , analog für z,y.
> Dadurch ergibt sich ja mein Vektor. Aber wie das mit der
> Divergenz läuft weiß ich nicht.
> Also müssten wir berechnen , falls ich mich nicht
> verrechnet habe:
> Div (grad f) = div(
> [mm]\vektor{-1x*(\wurzel[2]{x^{2}+y^{2}+z^{2}} ^{-3}\\ -1y*(\wurzel[2]{x^{2}+y^{2}+z^{2})} ^{-3} \\ -1z*(\wurzel[2]{x^{2}+y^{2}+z^{2})} ^{-3}\}[/mm]
>
Soweit OK:
[mm] \mathop{\mathrm{grad}} f = \bruch{-1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \vektor {x\\y\\z} [/mm]
Wie ist die Divergenz eines Vektorfeldes definiert? Doch als
[mm] \mathop{\mathrm{div}} \vektor{g_1(x,y,z)\\g_2(x,y,z)\\g_3(x,y,z) } = \bruch {\partial g_1}{\partial x} + \bruch {\partial g_2}{\partial y} + \bruch {\partial g_3}{\partial z} [/mm].
Übrigens ist f im Ursprung nicht definiert, und damit auch Gradient und Laplace nicht.
Viele Grüße
Rainer
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