| 1: | \documentclass[a4paper,DIV8,10pt]{scrartcl}
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| 2: |
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| 3: | \usepackage{ngerman} % fuer die deutschen Trennmuster
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| 4: | % \usepackage{german} % entsprechend fuer die alte Rechtschreibung
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| 5: | \usepackage[latin1]{inputenc} % falls Sie Umlaute in den Quellen verwenden wollen
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| 6: | \usepackage{amsmath} % enthaelt nuetzliche Makros fuer Mathematik
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| 7: | \usepackage{amsthm} % fuer Saetze, Definitionen, Beweise, etc.
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| 8: | \usepackage{amsfonts} % spezielle AMS-Mathematik-Fonts
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| 9: | \usepackage{relsize} % fuer \smaller
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| 10: | \usepackage{tikz} % fuer Graphiken
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| 11: |
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| 12: |
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| 13: |
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| 14: | \usepackage{fancyhdr}
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| 15: | \pagestyle{fancy}
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| 16: | \fancyhf{}
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| 17: | %
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| 18: | % Oben rechts die Namen der Teilnehmer der Gruppe
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| 19: | \fancyhead[R]{%
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| 20: | Name 1, Matr.-Nr.\\%
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| 21: | Name 2, Matr.-Nr.}
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| 22: | %
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| 23: | %Oben Links das Fach und darunter die Nummer des Ãœbungsblattes
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| 24: | \fancyhead[L]{Fach\\ Übungsblatt 01}
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| 25: | %
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| 26: | % Die Ãœbungsgruppe oben in der Mitte (momentan auskommentiert)
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| 27: | %\fancyhead[C]{Gruppe 2}
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| 28: | %
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| 29: | %Fußzeile mittig die Seitenzahl
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| 30: | \fancyfoot[C]{Seite \thepage}
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| 31: |
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| 32: | \setlength{\parskip}{1em}
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| 33: | \setlength{\parindent}{0pt}
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| 34: |
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| 35: |
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| 36: |
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| 37: | \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}} % natuerliche Zahlen
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| 38: | \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} % ganze Zahlen
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| 39: | \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} % rationale Zahlen
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| 40: | \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} % reelle Zahlen
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| 41: | \newcommand{\K}{\ensuremath{\mathbb{K}}} % IK
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| 42: | \newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}} % complex
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| 43: | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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| 44: | % Deklaration eigener Satz-/Definitions-/Beweisumgebungen mit amsthm
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| 45: | \newtheorem{satz}{Satz}[section]
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| 46: | \newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
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| 47: | \newtheorem{korollar}[satz]{Korollar}
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| 48: | \theoremstyle{definition}
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| 49: | \newtheorem{definition}[satz]{Definition}
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| 50: | \newtheorem{bemerkung}[satz]{Bemerkung}
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| 51: | \newtheorem{theorem}[satz]{Theorem}
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| 52: | \newenvironment{beweis}%
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| 53: | {\begin{proof}[Beweis]}
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| 54: | {\end{proof}}
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| 55: | \newtheorem{beispiel}[satz]{Beispiel}
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| 56: | \newtheorem{bezeichnung}[satz]{Bezeichnung}
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| 57: | \newtheorem{folgerung}[satz]{Folgerung}
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| 58: | \newtheorem{aufgabe}[satz]{Aufgabe}
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| 59: |
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| 60: | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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| 61: | % Deklaration weiterer Makros
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| 62: | \renewcommand{\labelitemi}{--} % aendert die Symbole bei unnumerierten Aufzaehlungen
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| 63: | \makeatletter % Fussnote ohne Symbol
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| 64: | \def\blfootnote{\xdef\@thefnmark{}\@footnotetext}
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| 65: | \renewcommand{\sectfont}{\normalfont} % aendert den Font fuer Ueberschriften
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| 66: |
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| 67: | % Seitenlayout
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| 68: | \renewcommand{\headfont}{\sffamily} % sans serif Kopfzeilen
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| 69: | \renewcommand{\pnumfont}{\sffamily} % sans serif Seitenzahlen
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| 70: | %
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| 71: |
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| 72: | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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| 73: | % Anfang des eigentlichen Dokuments
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| 74: | \begin{document}
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| 75: | \addtocounter{section}{1}
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| 76: |
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| 77: | \begin{aufgabe}
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| 78: |
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| 79: | \begin{enumerate}
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| 80: | \item Man berechne $(1+i\sqrt{3})^3$.
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| 81: | \item Wieviel verschiedene Lösungen hat die Gliederung $z^6=1$ in $\C$? Man gebe alle diese Lösungen in der Gestalt $z=x+iy$ an, skizziere ihre Lage in der komplexen Ebene und ermittle ein $\rho \in \C$ so dass jede der Lösungen eine Potenz von $\rho$ ist.
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| 82: | \end{enumerate}
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| 83: |
|
| 84: | \end{aufgabe}
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| 85: |
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| 86: | \begin{beweis}
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| 87: |
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| 88: | \begin{enumerate}
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| 89: | \item
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| 90: | Mit Hilfe von Euler berechnet man schnell und einfach:
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| 91: | $$(1+i\sqrt{3})^3=(2(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}))^3=8(\cos(\frac{\pi}{3})+i\sin(\frac{\pi}{3}))^3=8(e^{i\frac{\pi}{3}})^3=8e^{i\pi}=-8$$
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| 92: |
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| 93: | \item Die Gleichung $z^6=1 \Leftrightarrow z^6-1=0$ hat als Polynom sechsten Grades höchstens (in diesem Fall genau) sechs verschiedene Nullstellen, nämlich gerade die 6.-Einheitswurzeln.
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| 94: | Diese sind gegeben durch das System: $$\{e^{i\frac{2\pi}{6}k}:k\in \{1,2,\ldots,6\}=\{\cos(\frac{2\pi}{6}k)+i\sin(\frac{2\pi}{6}k): k\in\{1,2,\ldots,6\}\}$$
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| 95: | \\
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| 96: | \\
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| 97: | \\
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| 98: | \\
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| 99: | \\
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| 100: | \\
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| 101: | \\
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| 102: | \\
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| 103: | \\
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| 104: | \\
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| 105: | \\
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| 106: | Das Element $\rho:=e^{i\frac{2\pi}{6}}=\cos(\frac{2\pi}{6})+i\sin(\frac{2\pi}{6})$ erfüllt die Bedingungen, ist also primitive sechste Einheitswurzel (Hinweis: $\rho^5$ ist auch primitive 6.-te Einheitswurzel).
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| 107: |
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| 108: |
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| 109: |
|
| 110: | \end{enumerate}
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| 111: | \end{beweis}
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| 112: |
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| 113: |
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| 114: |
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| 115: |
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| 116: |
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| 117: | \begin{aufgabe}
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| 118: | Gegeben ein gleichseitiges Dreieck in \C \ mit Eckpunkten $v,w,z$. Zeige, dass $v,w,z$ nicht sämtlich Punkte des Gitters $\Z+i\Z$ sein können.
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| 119: | \end{aufgabe}
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| 120: |
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| 121: | \begin{beweis}
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| 122: | Fassen wir das Netz $\Z+i\Z$ als $\Z\oplus\Z$ auf. Nehmen wir an, dass es solche Punkte $v,w,z\in (\Z\oplus\Z)$ gibt, die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks sind.
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| 123: | Betrachte den Mittelpunkt $m$ von $v,w$. Sei o.B.d.A. $m\in \Z\oplus\Z$, da $v=(a,b),w=(c,d)$ mit $a,b,c,d\in \Z$ und somit $m=(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2})$ und somst eine Betrachtung des Dreiecks mit den Eckpunkten $2v,2w,2z$ die Bedingungen erfüllt.
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| 124: | Teile nun die Strecke von $v$ nach $m$ und die Strecke von $m$ nach $z$ in $n$ bzw. $m$ gleich große Stücke ein, die jeweils bis zu der nächsten Netzlinie gehen.
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| 125: | Dass diese Stücke jeweils gleich lang sind wird hier nicht gezeigt, da es sich um eine einfache Rechenaufgabe handelt.
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| 126: | Man kann nun also den Quotienten $\frac{n}{m}$ bilden. Dieser ist eine rationale Zahl. Dies steht jedoch im Widerspruch dazu, dass es ein gleichseitiges Dreieck ist, da dort das Verhältnis eine irrationale Zahl ist, da die Höhe des Dreiecks gleich dem $\frac{\sqrt{3}}{2}$ halben der Seitenlänge ist.
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| 127: | Demnach ist die Annahme falsch und somit die Behauptung richtig.
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| 128: | \end{beweis}
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| 129: |
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| 130: |
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| 131: | \begin{aufgabe}
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| 132: | Sei $A= abcd$ Matrix mit $det(A)>0$. Sei $\mathbb{H}=\{z\in \C: Im(z)>0\}$. Sei eine Funktion $f$ definiert durch: $f(z):=\frac{az+b}{cz+d}$.
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| 133: | Zeigen Sie, dass:
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| 134: |
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| 135: | \begin{enumerate}
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| 136: | \item $f(\mathbb{H})\subset \mathbb{H}$, dass also eine Abbildung $T:\mathbb{H} \to \mathbb{H}$ existiert.
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| 137: | \item $f$ ist komplex differenzierbar. Bestimme die Ableitung.
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| 138: | \item $T:\mathbb{H} \to \mathbb{H}$ ist eine Bijektion. Welcher Zusammenhang besteht zwischen $T^{-1}$ und $A^{-1}$?
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| 139: | \end{enumerate}
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| 140: |
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| 141: | \end{aufgabe}
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| 142: |
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| 143: | \begin{beweis}
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| 144: |
|
| 145: | \begin{enumerate}
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| 146: | \item Berechne einfach den Imaginärteil von $f(z)$:
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| 147: | $$Im(f(z))=\frac{\frac{az+b}{cz+d}-\frac{a\overline{z}+b}{c\overline{z}+d}}{2i}=\frac{(az+b)(c\overline{z}+d)-(a\overline{z}+b)(cz+d)}{2i}$$
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| 148: | $$=\frac{acz\overline{z}+bc\overline{z}+adz+bd-acz\overline{z}-bcz-ad\overline{z}-bd}{2i}=\frac{bc(\overline{z}-z)+ad(z-\overline{z})}{2i}$$
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| 149: | $$=\frac{(ad-bc)(z-\overline{z})}{2i}=(ad-bc)Im(z)\overbrace{>}^{det(A)>0,Im(z)>0}0$$
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| 150: |
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| 151: | \item Sei $z_0\in \mathbb{H}$, dann ist $f$ in $z_0$ komplex differenzierbar, wenn $\lim\limits_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$ existiert in $\C$. Berechne nun:
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| 152: |
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| 153: | $$\lim\limits_{z \to z_0}\frac{\frac{az+b}{cz+d}-\frac{az_0+b}{cz_0+d}}{z-z_0}=\lim\limits_{z\to z_0}\frac{az+b)(cz_0+d)-(az_0+b)(cz+d)}{(z-z_0)(cz+d)(cz_0+d)}$$
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| 154: | $$=\lim\limits_{z\to z_o}\frac{aczz_0+adz+bcz_0+bd-aczz_0-adz_0-bcz-bd}{(z-z_0)(cz+d)(cz_0+d)}$$
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| 155: | $$=\lim\limits_{z\to z_0}\frac{ad(z-z_0)-bc(z-z_0)}{(z-z_0)(cz+d)(cz_0+d)}=\lim\limits_{z\to z_0}\frac{ad-bc}{(cz+d)(cz_0+d)}$$
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| 156: | $$=\frac{ad-bc}{(cz_0+d)^2} $$
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| 157: |
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| 158: | Dies gilt für alle $z\in \mathbb{H}$, da nur für $\widetilde{z}=\frac{-d}{c}$ ein Widerspruch kommen kann, dieser jedoch ausgeschlossen ist, da $\widetilde{z}\notin \mathbb{H}$, da $Im(\widetilde{z})=0$.
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| 159: | $f$ ist also in jedem Punkt $z\in \mathbb{H}$ differenzierbar und die Ableitung ist:
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| 160: |
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| 161: | $$f'(z)=\frac{ad-bc}{(cz+d)^2}$$
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| 162: |
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| 163: | \item
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| 164: | Zeige nun, dass $T:\mathbb{H}\to \mathbb{H}$ eine Bijektion ist. Die Injektivität ist klar, da $f'(z)>0$, da Quadrate immer größer als Null sind und $ad-bc>0$ vorausgesetzt wurde.
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| 165: | Durch einfache Rechnung erhält man als Umkehrfunktion $f^{-1}(Z)=\frac{dZ-b}{-cZ+a}$.
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| 166: | Die Funktion $f$ ist also auch surjektiv und somit Bijektiv (natürlich mit der oben genannten Umkehrabbildung).
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| 167: | Die Matrix $a^{-1}$ ist gegeben durch: $A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. Die Umkehrfunktion ist also gerade die selbe Funktion zu der Matrix $A^{-1}$, da sich $\frac{1}{det(A)}$ rauskürzt. Falls wir also $T$ in Abhängigkeit von $A$ als $T_A$ schreiben, so ist $T_A^{-1}=T_{A^{-1}}$.
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| 168: |
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| 169: |
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| 170: |
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| 171: | \end{enumerate}
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| 172: |
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| 173: | \end{beweis}
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| 174: |
|
| 175: | \begin{aufgabe}
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| 176: | Sei $S^2\subset \R^3$ die 2-Einheitssphäre. Zeigen Sie, dass die stereographische Projektion einen Punkt $P=(x_1,x_2,x_3)\neq N$ auf die komplexe Zahl $$z=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}$$
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| 177: | abbildet. Zeige dann, dass $\left|z\right|^2=\frac{1+x_3}{1-x_3}$ gilt.
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| 178: | \end{aufgabe}
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| 179: |
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| 180: | \begin{beweis}
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| 181: | Beweise diesen Teil der Aufgabe geometrisch (also wie in der Schule).
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| 182: | Sei $\pi:S^2\backslash N \to \R^2\cong \C;\ P=(x_1,x_2,x_3)\mapsto G\cap E_{12}$ die stereographische Projektion, wobei $G$ die Gerade ist, die durch $N$ und $P$ geht und $E_{12}$ die Ebene in $\R^3$ mit $x_3=0$, was wir als $\R^2$ bzw. nachher als $\C$ auffassen.
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| 183: | Konstruiere $G$ als:
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| 184: | $$G:=\{x\in \R^3 : x= \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3-1 \end{pmatrix}; \lambda \in \R\}$$
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| 185: | Des weiteren gilt für $E_{12}$:
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| 186: | $$E_{12}:=\{x\in \R^3:x_3=0\}$$
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| 187: | Also gilt für $G\cap E_{12}$, dass $\lambda=\frac{1}{1-x_3}$ und somit für $\pi(P)=(\frac{x_1}{1-x_3},\frac{x_2}{1-x_3},0)$ gilt.
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| 188: | Fassen wir nun $\R^2$ als $\C$ auf, dann gilt: $\pi(P)=\frac{x_1}{1-x_3}+i\frac{x_2}{1-x_3}=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}=z$.
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| 189: |
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| 190: |
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| 191: | Wie gerade gezeigt, gilt $z=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}$. Es gilt dann auch:
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| 192: | $$\left|z\right|^2=z\overline{z}=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}\frac{x_1-ix_2}{1-x_3}=\frac{(x_1+ix_2)(x_1-ix_2)}{(1-x_3)^2}
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| 193: | =\frac{x_1^2+x_2^2}{1-x_3}$$
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| 194: | $$ \overbrace{=}^{x_1^2+x_2^2+x_3^2=1}\frac{1-x_3^2}{(1-x_3)^2}=\frac{(1-x_3)(1+x_3)}{(1-x_3)^2}=
|
| 195: | \frac{1+x_3}{1-x_3}$$
|
| 196: | \end{beweis}
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| 197: |
|
| 198: |
|
| 199: | \end{document}
|
