matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-AnalysisLaufmeter einer Papierrolle
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Analysis" - Laufmeter einer Papierrolle
Laufmeter einer Papierrolle < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Laufmeter einer Papierrolle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Fr 18.06.2004
Autor: numbsi

Hallo Leute,

ich möchte ganz gerne die Laufmeter einer Papierrolle bestimmen, und zwar über den Durchmesser und die Papierdicke einer Rolle. Ich denke, das müsste über ein Integral funktionieren, aber wie?

Vielen Dank für eure Hilfe.


        
Bezug
Laufmeter einer Papierrolle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:39 Fr 18.06.2004
Autor: Paulus

Hallo numbsi

[willkommenmr]

> Hallo Leute,
>  
> ich möchte ganz gerne die Laufmeter einer Papierrolle
> bestimmen, und zwar über den Durchmesser und die
> Papierdicke einer Rolle. Ich denke, das müsste über ein
> Integral funktionieren, aber wie?
>  

Wenn du von der Seite auf die Papierrolle schaust, dann ergibt sich das Problem, die Länge einer Kurve zu berechnen.

Bekanntlich macht man dies dadurch, dass man die Kurve als Funktion eines Parameters darstellt, sagen wir z.B. $t$ für Zeit. Dann berechnen wir die Geschwindigkeit des Punktes, wie er mit sich ändernder Zeit auf der Kurve bewegt. Die Kurvenlänge ergibt sich dann bekanntlich dadurch, dass man den Betrag des Geschwindigkeitsvektors über die Zeit integriert.

Für das vorliegende Problem würde ich den Winkel [mm] $\varphi$, [/mm] wie er üblicherweise in Polarkoordinaten bezeichnet wird, gerade als den Parameter $t$ wählen.

Somit ergibt sich die folgende Darstelleng:

Der Abstand der Kurve vom Zentrum berechnet sich zu
[mm] $r=r_{0}+c*t$, [/mm] wobei [mm] r_{0} [/mm] der Radius der leeren Rolle ist. $c$ ist so zu  wählen, dass nach dem Durchlauf um den Winkel [mm] $2\pi$ [/mm] sich der Abstand um die Papierdicke $d$ vergrössert.
Es muss also gelten:
[mm] $c*2\pi=d$, [/mm] also: [mm] $c=\bruch{d}{2\pi}$ [/mm]

Somit erhalten wir: [mm] $r=r_{0}+\bruch{d}{2\pi}*t$ [/mm]

Mit der bekannten Transformation [mm] $x=r*\cos [/mm] t$ und [mm] $y=r*\sin [/mm] t$ erhalten wir:

$x = [mm] (r_{0}+\bruch{d}{2\pi}*t)\cos [/mm] t$ und
$y = [mm] (r_{0}+\bruch{d}{2\pi}*t)\sin [/mm] t$

Jetzt können wir den Geschwindigkeitsvektor ganz einfach erhalten, indem wir komponentenweise nach $t$ ableiten:

[mm] $\bruch{dx}{dt}=\bruch{d}{2\pi}*\cos t-(r_{0}+\bruch{d}{2\pi}*t)\sin [/mm] t$
[mm] $\bruch{dy}{dt}=\bruch{d}{2\pi}*\sin t+(r_{0}+\bruch{d}{2\pi}*t)\cos [/mm]  t$

Daraus ergibt sich für die Geschwindigkeit:

[mm] $v=\wurzel{(\bruch{dx}{dt})^{2}+(\bruch{dy}{dt})^{2}}$ [/mm]

Das auszuwertende Integral ist also:

[mm] $\int_{0}^{\varphi}\wurzel{( \bruch{d}{2\pi} )^{2}+(r_{0}+\bruch{d}{2\pi}*t)^{2}}\, [/mm] dt$

Kannst du das selber noch zu Ende führen? Falls nicht, meldest du dich einfach wieder mit weiteren Fragen. :-)

Hinweis zur Kontrolle: wenn du [mm] $\varphi [/mm] = [mm] 2\pi$ [/mm] und $d=0$ einsetzt, müsstest du die Formel für einen Kreisumfang erhalten. :-)

Mit lieben Grüssen

Bezug
                
Bezug
Laufmeter einer Papierrolle: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:31 Fr 18.06.2004
Autor: Marc

Hallo Paulus, hallo numbsi,

eine Frage: Warum kann man nicht einfach die spiralenförmige Anordnung der Papierrolle vernachlässigen und stattdessen annehmen, sie es wären ineinandersteckende Papierzylinder?
Da wird in beiden Betrachtungsweisen einen Voll-Zylinder erhalten, müßten die Gesamtlängen des Papiers doch übereinstimmen.

Dann könnte man doch einfach rechnen:

Sei r der Radius der Papierrolle und d die Dicke des Papiers.

Dann haben wird [mm] N=\bruch{r}{d} [/mm] solche Papierzylinder.

Der i-te Papierzylinder hat den Radius [mm] $r_i=\bruch{r}{N}*i$, [/mm] sein Umfang beträgt [mm] $U_i=2\pi r_i=2\pi\bruch{r}{N}*i$ [/mm]

Die Gesamtpapierlänge l ist dann:

[mm] $l=\summe_{i=1}^N U_i=\summe_{i=1}^N 2\pi\bruch{r}{N}*i=2\pi*\bruch{r}{N} \summe_{i=1}^N i=2\pi*\bruch{r}{N}*\bruch{N*(N+1)}{2}=\pi*r*(N+1)=\pi*r*\left(\bruch{r}{d}+1\right)$ [/mm]

Das müßte doch wenigstens eine gute Näherung für die tatsächliche Länge sein, oder?

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                        
Bezug
Laufmeter einer Papierrolle: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:16 Sa 19.06.2004
Autor: Paulus

Hallo Marc

Ja, natürlich wäre das eine gute Näherung. Als Mitarbeiter der Papierfabrik würde ich sogar in dieser Art rechnen! ;-)

Aber bei dieser Aufgabe geht es wohl kaum darum, gute Näherungen zu finden, sondern die Technik der Integralrechnung zu üben. Dabei ist es natürlich schon etwas unglücklich, eine solche pseudopraxisbezogene Beschreibung der Aufgabe zu geben. Viel gescheiter hätte der Professor eher einfach verlangt, die Länge einer Archimedesspirale zu berechnen.

Meine Rechnung ergibt übrigens: (mit deinen Bezeichnungen)

[mm] $l=\bruch{\pi}{d}*(\log (r+\wurzel{1+r^{2}})+r\wurzel{1+r^{2}})$ [/mm]

Jetzt kannst du vielleicht überprüfen, wie genau deine Formel gegenüber meiner Formel ist. ;-) Der Fehler müsste sich, meiner Intuition folgend, für kleine $d$ in Grenzen halten, für grössere $d$ aber ansteigen.

Mit lieben Grüssen

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]