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Ich habe gegeben folgende Funktion:
[mm] f(z)=\frac{1}{(z-a)}
[/mm]
und soll die in eine Laurent-Reihe entwickeln.
Da die Funktion für z=a nicht definiert ist, kann ich die Laurent-Reihe für folgende "Kreisringe" bilden:
(1) 0<|z|<a
(2) a<|z|<unendlich
Aufgrund der Eindeutigkeit der Laurent-Entwicklung ist aber [mm] \frac{1}{(z-a)} [/mm] bereits die Laurent-Reihe. Das Problem, dass ich jetzt aber habe ist, dass ich nicht weiß, ob das die Laurent-Reihe für (1) oder (2) ist.
Und wenn ich mit dem Wurzelkriterium den "Konvergenz-Ring" bestimmen möchte, dann bekomme ich, dass die Reihe für 0<|z|<unendlich konvergiert. Was ja aber nicht sein kann, da sie für |z|=a nicht konvergiert.
Kann mir jemand weiterhelfen?
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Hallo Balendilin,
> Ich habe gegeben folgende Funktion:
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> [mm]f(z)=\frac{1}{(z-a)}[/mm]
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> und soll die in eine Laurent-Reihe entwickeln.
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> Da die Funktion für z=a nicht definiert ist, kann ich die
> Laurent-Reihe für folgende "Kreisringe" bilden:
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> (1) 0<|z|<a
> (2) a<|z|<unendlich
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> Aufgrund der Eindeutigkeit der Laurent-Entwicklung ist aber
> [mm]\frac{1}{(z-a)}[/mm] bereits die Laurent-Reihe. Das Problem,
> dass ich jetzt aber habe ist, dass ich nicht weiß, ob das
> die Laurent-Reihe für (1) oder (2) ist.
> Und wenn ich mit dem Wurzelkriterium den "Konvergenz-Ring"
> bestimmen möchte, dann bekomme ich, dass die Reihe für
> 0<|z|<unendlich konvergiert. Was ja aber nicht sein kann,
> da sie für |z|=a nicht konvergiert.
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?
Die gegebene Funktion
[mm]f(z)=\frac{1}{(z-a)}[/mm]
mußt Du jeweils in eine geometrische Reihe entwicklen,
so daß diese im entsprechenden Bereich konvergiert.
Gruss
MathePower
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