Laurent-Entwicklung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Fr 11.02.2011 | | Autor: | Vicky89 |
Hallo,
ich probiere grade die Laurent-Entwicklung zu verstehen, bzw Aufgaben damit rechnen zu können. Allerdings fällt mir das noch etwas schwer.
In den AUfgaben, die ich bisher gerechnet habe, habe ich die Funktion immer in einen Partialbruch zerlegt und dann verscuht daraus eine geometrische Reihe zu bekommen.
Allerdings verstehe ich nicht, in wie fern die geometrische Reihe davon abhängt, ob bei der Aufgabenstellung z.b.
im Kreisring
0<|z+1|<1
oder
0<|z-1-i|<1
oder
[mm] |z|>\wurzel{2}
[/mm]
Was ändert das letztendlich an der Reihe?
Als Beispiel dazu hätte ich:
[mm] \bruch{1}{(z+1)(z^{2}+2z+2)}
[/mm]
Das habe ich zerlegt in
[mm] \bruch{1}{z+1}- \bruch{1}{2}\bruch{1}{z+1-i}-\bruch{1}{2}\bruch{1}{z+1+i}
[/mm]
Was passiert aber jetzt, wenn ich von den oben genannten Bedingungen ausgehe?
Ich würde mich freuen, wenn jemand mir den nächsten Schritt genauer erklären könnte, denn irgendwie weiß ich gar nicht weiter.
Kann ich denn davon ausgehen, dass ich eine Funktion meistens in Partialbrüche zerlegen und dann mit der geometrischen reihe weiter machen muss? Ich habe bisher nämlich noch keine anderen Aufgaben gefunden.
Danke im Vorraus.
Gruß
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Hallo Vicky89,
> Hallo,
> ich probiere grade die Laurent-Entwicklung zu verstehen,
> bzw Aufgaben damit rechnen zu können. Allerdings fällt
> mir das noch etwas schwer.
>
> In den AUfgaben, die ich bisher gerechnet habe, habe ich
> die Funktion immer in einen Partialbruch zerlegt und dann
> verscuht daraus eine geometrische Reihe zu bekommen.
> Allerdings verstehe ich nicht, in wie fern die geometrische
> Reihe davon abhängt, ob bei der Aufgabenstellung z.b.
>
> im Kreisring
>
> 0<|z+1|<1
> oder
> 0<|z-1-i|<1
> oder
> [mm]|z|>\wurzel{2}[/mm]
>
> Was ändert das letztendlich an der Reihe?
>
>
> Als Beispiel dazu hätte ich:
>
> [mm]\bruch{1}{(z+1)(z^{2}+2z+2)}[/mm]
>
> Das habe ich zerlegt in
>
> [mm]\bruch{1}{z+1}- \bruch{1}{2}\bruch{1}{z+1-i}-\bruch{1}{2}\bruch{1}{z+1+i}[/mm]
>
> Was passiert aber jetzt, wenn ich von den oben genannten
> Bedingungen ausgehe?
>
> Ich würde mich freuen, wenn jemand mir den nächsten
> Schritt genauer erklären könnte, denn irgendwie weiß ich
> gar nicht weiter.
>
Forme zunächst die Partialbrüche so um,
daß Du sie in eine geometrische Reihe entwickeln kannst,
und zwar abhängig vom angegebenen Bereich.
Für den Bereich [mm]0 < \vmat{z+1} < 1[/mm] sieht das dann so aus:
i) [mm]\bruch{1}{z+1}[/mm]
Hier brauchst Du nichts umformen.
ii) [mm]\bruch{1}{z+1-i}[/mm]
[mm]\bruch{1}{z+1-i}=\bruch{1}{i*\left(\bruch{z+1}{i}-1\right)}=\bruch{1}{-i*\left(1-\bruch{z+1}{i}\right)}=\bruch{i}{1-\bruch{z+1}{i}}=i*\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{z+1}{i}\right)^{k}[/mm]
iii) [mm]\bruch{1}{z+1+i}[/mm]
[mm]\bruch{1}{z+1+i}=\bruch{1}{i*\left(\bruch{z+1}{i}+1\right)}=\bruch{1}{i*\left(1+\bruch{z+1}{i}\right)}=\bruch{-i}{1-\left(-\bruch{z+1}{i}\right)}=\left(-i\right)*\summe_{k=0}^{\infty}\left(-\bruch{z+1}{i}\right)^{k}[/mm]
>
> Kann ich denn davon ausgehen, dass ich eine Funktion
> meistens in Partialbrüche zerlegen und dann mit der
> geometrischen reihe weiter machen muss? Ich habe bisher
> nämlich noch keine anderen Aufgaben gefunden.
Im Fall, daß im Nenner ein Polynom in z steht,
kannst Du davon ausgehen.
>
> Danke im Vorraus.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Fr 11.02.2011 | | Autor: | Vicky89 |
Hallo,
erstmal vielen Dank für deine Antwort!!
> Hallo Vicky89,
>
> > Hallo,
> > ich probiere grade die Laurent-Entwicklung zu
> verstehen,
> > bzw Aufgaben damit rechnen zu können. Allerdings fällt
> > mir das noch etwas schwer.
> >
> > In den AUfgaben, die ich bisher gerechnet habe, habe ich
> > die Funktion immer in einen Partialbruch zerlegt und dann
> > verscuht daraus eine geometrische Reihe zu bekommen.
> > Allerdings verstehe ich nicht, in wie fern die geometrische
> > Reihe davon abhängt, ob bei der Aufgabenstellung z.b.
> >
> > im Kreisring
> >
> > 0<|z+1|<1
> > oder
> > 0<|z-1-i|<1
> > oder
> > [mm]|z|>\wurzel{2}[/mm]
> >
> > Was ändert das letztendlich an der Reihe?
> >
> >
> > Als Beispiel dazu hätte ich:
> >
> > [mm]\bruch{1}{(z+1)(z^{2}+2z+2)}[/mm]
> >
> > Das habe ich zerlegt in
> >
> > [mm]\bruch{1}{z+1}- \bruch{1}{2}\bruch{1}{z+1-i}-\bruch{1}{2}\bruch{1}{z+1+i}[/mm]
>
> >
> > Was passiert aber jetzt, wenn ich von den oben genannten
> > Bedingungen ausgehe?
> >
> > Ich würde mich freuen, wenn jemand mir den nächsten
> > Schritt genauer erklären könnte, denn irgendwie weiß ich
> > gar nicht weiter.
> >
>
>
> Forme zunächst die Partialbrüche so um,
> daß Du sie in eine geometrische Reihe entwickeln kannst,
> und zwar abhängig vom angegebenen Bereich.
>
> Für den Bereich [mm]0 < \vmat{z+1} < 1[/mm] sieht das dann so aus:
>
> i) [mm]\bruch{1}{z+1}[/mm]
>
> Hier brauchst Du nichts umformen.
>
> ii) [mm]\bruch{1}{z+1-i}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{z+1-i}=\bruch{1}{i*\left(\bruch{z+1}{i}-1\right)}=\bruch{1}{-i*\left(1-\bruch{z+1}{i}\right)}=\bruch{i}{1-\bruch{z+1}{i}}=i*\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{z+1}{i}\right)^{k}[/mm]
>
> iii) [mm]\bruch{1}{z+1+i}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{z+1+i}=\bruch{1}{i*\left(\bruch{z+1}{i}+1\right)}=\bruch{1}{i*\left(1+\bruch{z+1}{i}\right)}=\bruch{-i}{1-\left(-\bruch{z+1}{i}\right)}=\left(-i\right)*\summe_{k=0}^{\infty}\left(-\bruch{z+1}{i}\right)^{k}[/mm]
>
>
Ok, die Umformung kann ich nachvollziehen, obwohl ich mir nicht sicher bin, ob ich dadrauf kommen würde...
Aber aus welchem Grund darf man das i im letzten Schritt über den Bruch schreiben?
Und in wie fern steht das im Zusammenhang mit dem gegebenen kreisring?
Was muss ich am Ende machen, wenn ich diese drei geometrischen Reihe habe? Am Ende darf nur ein Summenzeichen da stehen, oder?
ALso, ich weiß nicht wirklich, wie es ab hier weiter geht.
> >
> > Kann ich denn davon ausgehen, dass ich eine Funktion
> > meistens in Partialbrüche zerlegen und dann mit der
> > geometrischen reihe weiter machen muss? Ich habe bisher
> > nämlich noch keine anderen Aufgaben gefunden.
>
>
> Im Fall, daß im Nenner ein Polynom in z steht,
> kannst Du davon ausgehen.
>
>
> >
> > Danke im Vorraus.
> >
> > Gruß
>
>
> Gruss
> MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Fr 11.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> erstmal vielen Dank für deine Antwort!!
>
>
> > Hallo Vicky89,
> >
> > > Hallo,
> > > ich probiere grade die Laurent-Entwicklung zu
> > verstehen,
> > > bzw Aufgaben damit rechnen zu können. Allerdings fällt
> > > mir das noch etwas schwer.
> > >
> > > In den AUfgaben, die ich bisher gerechnet habe, habe ich
> > > die Funktion immer in einen Partialbruch zerlegt und dann
> > > verscuht daraus eine geometrische Reihe zu bekommen.
> > > Allerdings verstehe ich nicht, in wie fern die geometrische
> > > Reihe davon abhängt, ob bei der Aufgabenstellung z.b.
> > >
> > > im Kreisring
> > >
> > > 0<|z+1|<1
> > > oder
> > > 0<|z-1-i|<1
> > > oder
> > > [mm]|z|>\wurzel{2}[/mm]
> > >
> > > Was ändert das letztendlich an der Reihe?
> > >
> > >
> > > Als Beispiel dazu hätte ich:
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{(z+1)(z^{2}+2z+2)}[/mm]
> > >
> > > Das habe ich zerlegt in
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{z+1}- \bruch{1}{2}\bruch{1}{z+1-i}-\bruch{1}{2}\bruch{1}{z+1+i}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Was passiert aber jetzt, wenn ich von den oben genannten
> > > Bedingungen ausgehe?
> > >
> > > Ich würde mich freuen, wenn jemand mir den nächsten
> > > Schritt genauer erklären könnte, denn irgendwie weiß ich
> > > gar nicht weiter.
> > >
> >
> >
> > Forme zunächst die Partialbrüche so um,
> > daß Du sie in eine geometrische Reihe entwickeln kannst,
> > und zwar abhängig vom angegebenen Bereich.
> >
> > Für den Bereich [mm]0 < \vmat{z+1} < 1[/mm] sieht das dann so aus:
> >
> > i) [mm]\bruch{1}{z+1}[/mm]
> >
> > Hier brauchst Du nichts umformen.
> >
> > ii) [mm]\bruch{1}{z+1-i}[/mm]
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{z+1-i}=\bruch{1}{i*\left(\bruch{z+1}{i}-1\right)}=\bruch{1}{-i*\left(1-\bruch{z+1}{i}\right)}=\bruch{i}{1-\bruch{z+1}{i}}=i*\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{z+1}{i}\right)^{k}[/mm]
> >
> > iii) [mm]\bruch{1}{z+1+i}[/mm]
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{z+1+i}=\bruch{1}{i*\left(\bruch{z+1}{i}+1\right)}=\bruch{1}{i*\left(1+\bruch{z+1}{i}\right)}=\bruch{-i}{1-\left(-\bruch{z+1}{i}\right)}=\left(-i\right)*\summe_{k=0}^{\infty}\left(-\bruch{z+1}{i}\right)^{k}[/mm]
> >
> >
>
> Ok, die Umformung kann ich nachvollziehen, obwohl ich mir
> nicht sicher bin, ob ich dadrauf kommen würde...
> Aber aus welchem Grund darf man das i im letzten Schritt
> über den Bruch schreiben?
Hallo,
der Bruch wurde mit i erweitert.
Gruß Abakus
>
> Und in wie fern steht das im Zusammenhang mit dem gegebenen
> kreisring?
>
> Was muss ich am Ende machen, wenn ich diese drei
> geometrischen Reihe habe? Am Ende darf nur ein
> Summenzeichen da stehen, oder?
> ALso, ich weiß nicht wirklich, wie es ab hier weiter
> geht.
>
>
> > >
> > > Kann ich denn davon ausgehen, dass ich eine Funktion
> > > meistens in Partialbrüche zerlegen und dann mit der
> > > geometrischen reihe weiter machen muss? Ich habe bisher
> > > nämlich noch keine anderen Aufgaben gefunden.
> >
> >
> > Im Fall, daß im Nenner ein Polynom in z steht,
> > kannst Du davon ausgehen.
> >
> >
> > >
> > > Danke im Vorraus.
> > >
> > > Gruß
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Fr 11.02.2011 | | Autor: | Vicky89 |
hmmm...
ich sehs irgendwie nicht, tut mir leid.
> Und in wie fern steht das im Zusammenhang mit dem gegebenen
> kreisring?
>
> Was muss ich am Ende machen, wenn ich diese drei
> geometrischen Reihe habe? Am Ende darf nur ein
> Summenzeichen da stehen, oder?
> ALso, ich weiß nicht wirklich, wie es ab hier weiter
> geht.
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Hallo Vicky89,
> hmmm...
> ich sehs irgendwie nicht, tut mir leid.
>
[mm]\bruch{1}{i}=\bruch{1}{i}*\bruch{-i}{-i}=\bruch{-i}{i*\left(-i\right)}=\bruch{i}{-i^{2}}=\bruch{-i}{-\left(-1\right)}=\bruch{-i}{1\right)}=-i[/mm]
> > Und in wie fern steht das im Zusammenhang mit dem
> gegebenen
> > kreisring?
> >
> > Was muss ich am Ende machen, wenn ich diese drei
> > geometrischen Reihe habe? Am Ende darf nur ein
> > Summenzeichen da stehen, oder?
> > ALso, ich weiß nicht wirklich, wie es ab hier weiter
> > geht.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Fr 11.02.2011 | | Autor: | Vicky89 |
oh nein...klar... danke...
aber kann mir vielleicht jeand noch die anderen fragen beatnworten?
das wäre super lieb..
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Hallo Vicky89,
> oh nein...klar... danke...
>
> aber kann mir vielleicht jeand noch die anderen fragen
> beatnworten?
> Und in wie fern steht das im Zusammenhang mit dem gegebenen
> kreisring?
Die erhaltenen geometrischen Reihen konvergieren für [mm]\vmat{z+1} < 1[/mm]
>
> Was muss ich am Ende machen, wenn ich diese drei
> geometrischen Reihe habe? Am Ende darf nur ein
> Summenzeichen da stehen, oder?
Die erhaltenen geometrischen Reihen kannst Du unter Beachtung
der Partialbrüche unter ein Summenzeichen ziehen.
> ALso, ich weiß nicht wirklich, wie es ab hier weiter
> geht.
>
> das wäre super lieb..
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Fr 11.02.2011 | | Autor: | Vicky89 |
aber was wäre denn dann anders im gegnsatz zu z.b. 0<|z-1-i|<1
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Hallo vicky89,
> aber was wäre denn dann anders im gegnsatz zu z.b.
> 0<|z-1-i|<1
Die Partialbrüche sind dann so umzuformen,
daß Du eine geometrische Reihe der Art
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*\left(z-1-i\right)^{k}[/mm]
erhältst.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Fr 11.02.2011 | | Autor: | Vicky89 |
ok, das macht sinn.
eine frage habe ich jetzt zum schluss aber noch, damit ich wenigstens eine aufgabe vollständig gesehen habe.
ich habe ja jetzt die reihen
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-z)^{k}
[/mm]
[mm] \bruch{i}{2}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z+1}{i})^{k}
[/mm]
[mm] \bruch{-i}{2}\summe_{k=0}^{\infty}(-\bruch{z+1}{i})^{k}
[/mm]
der Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] muss noch davor, oder?
kannst du mir zum abschluss nur noch sagen, wie es letztendlich mit einem summenzeichen aussieht? vielleicht kann ich es dann eher auf andere aufgaben übertragen.
vielen dank für die hilfe!!!
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Hallo Vicky89,
> ok, das macht sinn.
>
> eine frage habe ich jetzt zum schluss aber noch, damit ich
> wenigstens eine aufgabe vollständig gesehen habe.
>
> ich habe ja jetzt die reihen
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-z)^{k}[/mm]
Hier sollst Du den Bruch so stehen lassen wir er ist: [mm]\bruch{1}{z+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{i}{2}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z+1}{i})^{k}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-i}{2}\summe_{k=0}^{\infty}(-\bruch{z+1}{i})^{k}[/mm]
>
> der Faktor [mm]\bruch{1}{2}[/mm] muss noch davor, oder?
>
>
> kannst du mir zum abschluss nur noch sagen, wie es
> letztendlich mit einem summenzeichen aussieht? vielleicht
> kann ich es dann eher auf andere aufgaben übertragen.
Die Reihe ergibt sich dann zu:
[mm]\bruch{1}{z+1}+\bruch{i}{2}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z+1}{i})^{k}+\bruch{-i}{2}\summe_{k=0}^{\infty}(-\bruch{z+1}{i})^{k}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{z+1}+\bruch{i}{2}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z+1}{i})^{k}+\bruch{-i}{2}\summe_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}(\bruch{z+1}{i})^{k}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{z+1}+\bruch{i}{2}\summe_{k=0}^{\infty}\left(1-\left(-1\right)^{k}\right)(\bruch{z+1}{i})^{k}=\bruch{1}{z+1}+\bruch{i}{2}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch {\left(1-\left(-1\right)^{k}\right)}{i^{k}}(z+1)^{k}[/mm]
Jetzt kannst Du die Summe noch etwas vereinfachen,
wenn Du verifzierst, daß der Koeffizient für k gerade verschwindet.
>
> vielen dank für die hilfe!!!
Gruss
MathePower
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