Laurent-Entwicklung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 So 03.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Laurent-Entwicklung von
[mm] \bruch{1}{(z-1)(z-2)(z-3)} [/mm] |
kann mir jemand sagen, ob das was ich gemacht habe richtig ist?
als erstes habe ich es in partialsummen zerlegt und komme auf
a(z-2)(z-3)+b(z-1)(z-3)+c(z-1)(z-2)=1
für z=1
[mm] a=\bruch{1}{2}
[/mm]
für z=2
b=-1
für z=3
[mm] c=\bruch{1}{2}
[/mm]
Damit komme ich dann auf
[mm] \bruch{1}{2z-2}-\bruch{1}{z-2}+\bruch{1}{2z-6}= [/mm]
[mm] \bruch{-\bruch{1}{2}}{1-z}-\bruch{-\bruch{1}{2}}{1-z}+\bruch{-\bruch{1}{6}}{1-\bruch{1}{3}z}
[/mm]
mit der geometrischen Reihe komme ich dann auf
[mm] -\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty}z^{k} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty}z^{k} -\bruch{1}{6} \summe_{k=0}^{\infty})\bruch{z}{3})^{k} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{6} \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{3})^{k}
[/mm]
stimmt das so, oder habe ich was falsch gemacht?
danke für hilfe!!
liebe grüße
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Hallo Vicky89,
> Bestimmen Sie die Laurent-Entwicklung von
> [mm]\bruch{1}{(z-1)(z-2)(z-3)}[/mm]
Es fehlt hier der Entwicklungspunkt um den entwickelt werden soll,
als auch in welchem Kreisring die Laurentreihe konvergieren soll.
> kann mir jemand sagen, ob das was ich gemacht habe richtig
> ist?
>
> als erstes habe ich es in partialsummen zerlegt und komme
> auf
> a(z-2)(z-3)+b(z-1)(z-3)+c(z-1)(z-2)=1
>
> für z=1
> [mm]a=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> für z=2
> b=-1
>
> für z=3
> [mm]c=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Damit komme ich dann auf
>
> [mm]\bruch{1}{2z-2}-\bruch{1}{z-2}+\bruch{1}{2z-6}=[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\bruch{-\bruch{1}{2}}{1-z}-\bruch{-\bruch{1}{2}}{1-z}+\bruch{-\bruch{1}{6}}{1-\bruch{1}{3}z}[/mm]
Hier hat sich ein Fehler eingeschlichen:
[mm]\bruch{-\bruch{1}{2}}{1-z}-\bruch{-\bruch{1}{2}}{1-\red{\bruch{z}{2}}}+\bruch{-\bruch{1}{6}}{1-\bruch{1}{3}z}[/mm]
>
> mit der geometrischen Reihe komme ich dann auf
>
> [mm]-\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty}z^{k}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty}z^{k} -\bruch{1}{6} \summe_{k=0}^{\infty})\bruch{z}{3})^{k}[/mm]
> = [mm]-\bruch{1}{6} \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{3})^{k}[/mm]
>
>
> stimmt das so, oder habe ich was falsch gemacht?
>
> danke für hilfe!!
>
> liebe grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 So 03.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
Hallo MathePower,
danke für die Antwort.
Das müsste dann aber die Lösung sein, oder?
> > [mm]-\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty}z^{k}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{2})^{k} -\bruch{1}{6} \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{3})^{k}[/mm]
Kann man das noch weiter zusammenfassen?
liebe grüße
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Hallo Vicky89,
> Hallo MathePower,
>
> danke für die Antwort.
> Das müsste dann aber die Lösung sein, oder?
>
>
> > > [mm]-\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty}z^{k}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{2})^{k} -\bruch{1}{6} \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{3})^{k}[/mm]
>
Ja, das ist die Lösung.
>
> Kann man das noch weiter zusammenfassen?
Ja.
>
> liebe grüße
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 So 03.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
kannst du, oder irgendjemand, mir erklären, wie das geht? ich habe ehrlich gesagt noch nie irgendwelche summen zusammengefasst und bin mir nicht so wirklich sicher worauf ich da achten muss..
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Hallo Vicky89,
> kannst du, oder irgendjemand, mir erklären, wie das geht?
> ich habe ehrlich gesagt noch nie irgendwelche summen
> zusammengefasst und bin mir nicht so wirklich sicher worauf
> ich da achten muss..
Schreibe die Summen zunächst in der Form
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*z^{k}[/mm]
Da es sich hier um 3 Summen handelt, hast Du dann
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*z^{k}+\summe_{k=0}^{\infty}b_{k}*z^{k}+\summe_{k=0}^{\infty}c_{k}*z^{k}=\summe_{k=0}^{\infty}\left(a_{k}+b_{k}+c_{k}\right)*z^{k}[/mm]
Ergo, fasse die Koeffizienten vor gleichen Exponenten
in jeder Summe zusammen.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:19 Mo 04.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo MathePower,
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> danke für die Antwort.
> Das müsste dann aber die Lösung sein, oder?
>
>
> > > [mm]-\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty}z^{k}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{2})^{k} -\bruch{1}{6} \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{3})^{k}[/mm]
Das glaube ich nicht. oben steht die Potenzreihenentwicklung der vorgelegten Funktion !
Was hat Mathepower geschrieben:
"Es fehlt hier der Entwicklungspunkt um den entwickelt werden soll,
als auch in welchem Kreisring die Laurentreihe konvergieren soll. "
Warum beabtwortest Du nicht diese Frage ?
FRED
>
>
> Kann man das noch weiter zusammenfassen?
>
> liebe grüße
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
habe ich wohl unbeabsichtigt nicht beantwortet.
im kreisring [mm] \{z \in \IC | |z| > 2\} [/mm] was ändert das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Mi 06.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> habe ich wohl unbeabsichtigt nicht beantwortet.
>
>
> im kreisring [mm]\{z \in \IC | |z| > 2\}[/mm] was ändert das?
Alles ! Weil ersten beiden Reihen in
$ [mm] -\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty}z^{k} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{2})^{k} -\bruch{1}{6} \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{3})^{k} [/mm] $
für kein z mit |z|>2 konvergieren !! Und die 3. Reihe für |z| [mm] \ge3 [/mm] divergiert.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
ja, das dachte ich mir.eher wollte ich wissen, was ich in meiner rechnung dabei ändern muss...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Mi 06.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Beispiel:
[mm] \bruch{1}{z-2}= \bruch{1}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{2}{z}}= \bruch{1}{z}*\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{2}{z})^n= \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^n}{z^{n+1}} [/mm] für |z|>2
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
ehrlich gesgat weiß ich nicht, woher ich wei, dass ich das so umformen muss...
[mm] \bruch{-\bruch{1}{2}}{1-z}-\bruch{-\bruch{1}{2}}{1-{\bruch{z}{2}}}+\bruch{-\bruch{1}{6}}{1-\bruch{1}{3}z}
[/mm]
wenn ich jetzt mit dem bruch anfange:
[mm] \bruch{-\bruch{1}{2}}{1-z}
[/mm]
auf welche form muss ich das denn bringen? wie kann ich die bedignung da reinbringen?
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Hallo Vicky89,
> ehrlich gesgat weiß ich nicht, woher ich wei, dass ich das
> so umformen muss...
>
> [mm]\bruch{-\bruch{1}{2}}{1-z}-\bruch{-\bruch{1}{2}}{1-{\bruch{z}{2}}}+\bruch{-\bruch{1}{6}}{1-\bruch{1}{3}z}[/mm]
>
>
> wenn ich jetzt mit dem bruch anfange:
> [mm]\bruch{-\bruch{1}{2}}{1-z}[/mm]
>
> auf welche form muss ich das denn bringen? wie kann ich die
> bedignung da reinbringen?
>
[mm]\bruch{-\bruch{1}{2}}{1-z}=\bruch{1}{z}*\bruch{-\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{z}-1}=\bruch{1}{z}*\bruch{\bruch{1}{2}}{1-\bruch{1}{z}}[/mm]
Der Bruch [mm]\bruch{\bruch{1}{2}}{1-\bruch{1}{z}}[/mm] ist
jetzt in eine geometrische Reihe zu entwicklen.
Damit erhältst Du eine Reihe, die für [mm]\vmat{z} > 1[/mm] konvergiert.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
danke für die antwort.
aber das ist jetzt ja grade das problem. es ist ja für z>2
ich hatte die reihe ja schon entwickelt. aber fred meinte dadurch, dass es fr größer 2 ist, ändert es sich. ich weiß nur nicht, was ich verändern muss...
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Hallo Vicky89,
> danke für die antwort.
> aber das ist jetzt ja grade das problem. es ist ja für
> z>2
Nun, wenn die Reihe für [mm]\vmat{z} > 1[/mm] konvergiert,
dann konvergiert sie auch für [mm]\vmat{z} > 2[/mm]
>
> ich hatte die reihe ja schon entwickelt. aber fred meinte
> dadurch, dass es fr größer 2 ist, ändert es sich. ich
> weiß nur nicht, was ich verändern muss...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
ja, aber was muss ich denn jetzt an meiner ursprünglichen rechnung ändern? was ist denn anders? für was habe ich es denn gemacht?
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Hallo Vicky89,
> ja, aber was muss ich denn jetzt an meiner ursprünglichen
> rechnung ändern? was ist denn anders? für was habe ich es
> denn gemacht?
Die Umformung ist anders.
[mm]\bruch{1}{1-z}=\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}[/mm]
Damit hast Du eine geometrische Reihe, die für [mm]\vmat{z} < 1[/mm] konvergiert.
Willst Du eine Reihe haben, die für [mm]\vmat{z} > 1[/mm] konvergiert,
dann musst Du so, wie von fred beschrieben, umformen:
[mm]\bruch{1}{1-z}=\bruch{1}{z*\left(\bruch{1}{z}-1\right)}=-\bruch{1}{z*\left(1-\bruch{1}{z}\right)}=-\bruch{1}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}}=-\bruch{1}{z}*\summe_{k=0}^{\infty}\left( \bruch{1}{z}\right)^{k}=-\summe_{k=1}^{\infty}\left( \bruch{1}{z}\right)^{k}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
es tut mir total leid, dass ich andauernd nachfragen muss.ich komme mir selber schon total doof vor...
mein problem liegt einfach darin, dass ich nicht erkenne, nach was für einem prinzip ihr das umformt.
ich kann die schritte nachvollziehen.
aber ich weiß nicht, was das ziel davon ist.
wenn ich jetz den bruch [mm] \bruch{-\bruch{1}{6}}{1-\bruch{1}{3}z} [/mm] habe, weiß ich einfach nicht auf welche art ich umformen muss. was überhaupt letztendlich mein ziel ist. wo will ich hin?
ich muss irgendwie verstehen, was ich da überhaupt machen soll...
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Hallo Vicky89,
> es tut mir total leid, dass ich andauernd nachfragen
> muss.ich komme mir selber schon total doof vor...
>
>
> mein problem liegt einfach darin, dass ich nicht erkenne,
> nach was für einem prinzip ihr das umformt.
Das hängt von dem Gebiet ab, in dem die Reihe konvergieren soll.
Konvergiert die Reihe bereits in diesem Gebiet, so ist nichts umzuformen.
> ich kann die schritte nachvollziehen.
> aber ich weiß nicht, was das ziel davon ist.
> wenn ich jetz den bruch
> [mm]\bruch{-\bruch{1}{6}}{1-\bruch{1}{3}z}[/mm] habe, weiß ich
Wird dies in eine geometrische Reihe entwickelt,
so konvergiert diese für [mm]\vmat{\bruch{z}{3}} < 1[/mm] bzw. [mm]\vmat{z} < 3[/mm]
Ist verlangt, daß diese Reihe für [mm]\vmat{z}>3[/mm] konvengiert,
dann ist entsprechend umzuformen.
> einfach nicht auf welche art ich umformen muss. was
> überhaupt letztendlich mein ziel ist. wo will ich hin?
Ziel ist, daß die Reihe in dem vorgegebenen Gebiet konvergiert.
> ich muss irgendwie verstehen, was ich da überhaupt machen
> soll...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
wäre das dann
[mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{3}z}=\bruch{1}{z(\bruch{1}{z}-\bruch{1}{3})}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{(\bruch{1}{3}-\bruch{1}{z})}=-\bruch{3}{z} \bruch{1}{1-\bruch{3}{z}}=-\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{3}{z})^{k}
[/mm]
?
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Hallo Vicky89,
> wäre das dann
>
> [mm]\bruch{1}{1-\bruch{1}{3}z}=\bruch{1}{z(\bruch{1}{z}-\bruch{1}{3})}[/mm]
> [mm]=-\bruch{1}{(\bruch{1}{3}-\bruch{1}{z})}=-\bruch{3}{z} \bruch{1}{1-\bruch{3}{z}}=-\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{3}{z})^{k}[/mm]
Hier hat sich ein Schreibfehler eingeschlichen:
[mm]=-\bruch{1}{\blue{z}*(\bruch{1}{3}-\bruch{1}{z})}=-\bruch{3}{z} \bruch{1}{1-\bruch{3}{z}}=-\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{3}{z})^{k}[/mm]
>
> ?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
danke für die hilfe und die geduld ;)
ich hab imer probleme zu erkennen, was ich machen muss.und im nachhinein merke ich, dass es viel leichter ist, als ich eignetlich denke...
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