matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Uni-Komplexe Analysis > Laurent-Reihe
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Laurent-Reihe
Laurent-Reihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Laurent-Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:02 Mi 28.07.2004
Autor: Joergi

Hallo ich schon wieder,
habe heute Klausur geschrieben und habe jetzt ein paar Frage zunächst diese zu den Laurent-Reihen.
Aufgabe lautet:
Es sei [mm]f:\IC\setminus\{-1,-2,-3\}\rightarrow \IC[/mm] definiert durch [mm]f(z):=\bruch{1}{(z+1)(z+2)(z+3)}[/mm]
Bestimmen Sie die Laurent-Entwicklung von[mm]f[/mm]mit Entwicklungspunkt [mm]z_o:=0[/mm]für [mm]G[/mm]:
(a) [mm]G:=\{z\in\IC \left|\quad \left|z \right|$<$1\}[/mm]
(b) [mm]G:=\{z\in\IC \left|\quad 2$<$\left|z\right|$<$3\}[/mm]

Also meine Laurent-Reihe zu (a) lautet:
[mm]f(z)=\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}((1-\bruch{1}{2^k}+\bruch{1}{3^{k+1}})*(-1)^k*z^k)[/mm]

Rechnung:

Mit Partialbruchzerlegung folgt:

[mm] f(z)&=&\bruch{1}{(z+1)(z+2)(z+3)}\\\\ &=&\bruch{A}{z+1}+\bruch{B}{z+2}+\bruch{C}{z+3}\\\\ &=&\bruch{\bruch{1}{2}}{z+1}-\bruch{1}{z+2}+\bruch{\bruch{1}{2}}{z+3}\\\\ &=&\bruch{-1}{2(-1-0)}*\bruch{1}{1-\bruch{z-0}{-1-0}}-\bruch{-1}{-2-0}*\bruch{1}{1-\bruch{z-o}{-2-0}}+\bruch{-1}{2(-3-0)}*\bruch{1}{1-\bruch{z-0}{-3-0}}\\\\ &=&\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{-1}}-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{-2}}+\bruch{1}{6}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{-3}}\\\\ &=&\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{-1})^k-\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{-2})^k+\bruch{1}{6}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{-3})^k\\\\ &=&\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*z^k-\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{z^k}{2^k}+\bruch{1}{6}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^k}{3^k}\\\\ &=&\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}((1-\bruch{1}{2^k}+\bruch{1}{3^{k+1}})*(-1)^k*z^k)[/mm]

Und die zu (b):
[mm]f(z)=\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*(z^{-k-1}-2^{k-1}*z^{-k-1}+z^k*3^{-k-1})[/mm]

Rechnung:

[mm] f(z)&=&\bruch{1}{(z+1)(z+2)(z+3)}\\\\ &=&\bruch{A}{z+1}+\bruch{B}{z+2}+\bruch{C}{z+3}\\\\ &=&\bruch{\bruch{1}{2}}{z+1}-\bruch{1}{z+2}+\bruch{\bruch{1}{2}}{z+3}\\\\ &=&\bruch{1}{2(z-0)}*{\bruch{1}{1-\bruch{-1-0}{z-0}}-\bruch{1}{z-0}*\bruch{1}{1-\bruch{-2-0}{z-0}}-\bruch{1}{2(-3-0)}*\bruch{1}{1-\bruch{z-0}{-3-0}}[/mm]
[mm]\\\\ &=&\bruch{1}{2z}*{\bruch{1}{1-\bruch{-1}{z}}-\bruch{1}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{-2}{z}}+\bruch{1}{6}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{-3}}[/mm]
[mm]\\\\ &=&\bruch{1}{2z}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{-1}{z})^k-\bruch{1}{z}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{-2}{z})^k+\bruch{1}{6}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{-3})^k\\\\ &=&\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*(z^{-k-1}-2^{k-1}*z^{-k-1}+z^k*3^{-k-1})[/mm]
Wäre schon,wenn da mal jemand drüberschauen könnte, ob das so Ok ist.
Danke schon mal
        
Bezug
Laurent-Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:08 Fr 30.07.2004
Autor: Joergi

Rechnung habe ich hier nachgeliefert!
Bezug
        
Bezug
Laurent-Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Sa 31.07.2004
Autor: Brigitte

Hallo Jörgi!

Da hast Du Dir aber viel Mühe beim Aufschreiben gegeben [hut]

Zunächst als Vorbemerkung: Meine Vorlesung über Funktionentheorie ist leider schon ein Weilchen her, weshalb ich die Inhalte nicht mehr besonders gut im Gedächtnis habe. Deine Rechenwege kann ich aber wohl trotzdem beurteilen.

>  Es sei [mm]f:\IC\setminus\{-1,-2,-3\}\rightarrow \IC[/mm] definiert
> durch [mm]f(z):=\bruch{1}{(z+1)(z+2)(z+3)}[/mm]
>  Bestimmen Sie die Laurent-Entwicklung von[mm]f[/mm]mit
> Entwicklungspunkt [mm]z_o:=0[/mm]für [mm]G[/mm]:
>  (a) [mm]G:=\{z\in\IC \left|\quad \left|z \right|$<$1\}[/mm]
>  (b)
> [mm]G:=\{z\in\IC \left|\quad 2$<$\left|z\right|$<$3\}[/mm]
>  
> Also meine Laurent-Reihe zu (a) lautet:
>  
> [mm]f(z)=\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}((1-\bruch{1}{2^k}+\bruch{1}{3^{k+1}})*(-1)^k*z^k)[/mm]
>  
> Rechnung:
>  
> Mit Partialbruchzerlegung folgt:
>  
> [mm] f(z)&=&\bruch{1}{(z+1)(z+2)(z+3)}\\\\ &=&\bruch{A}{z+1}+\bruch{B}{z+2}+\bruch{C}{z+3}\\\\ &=&\bruch{\bruch{1}{2}}{z+1}-\bruch{1}{z+2}+\bruch{\bruch{1}{2}}{z+3}\\\\ &=&\bruch{-1}{2(-1-0)}*\bruch{1}{1-\bruch{z-0}{-1-0}}-\bruch{-1}{-2-0}*\bruch{1}{1-\bruch{z-o}{-2-0}}+\bruch{-1}{2(-3-0)}*\bruch{1}{1-\bruch{z-0}{-3-0}}\\\\ &=&\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{-1}}-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{-2}}+\bruch{1}{6}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{-3}}\\\\ &=&\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{-1})^k-\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{-2})^k+\bruch{1}{6}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{-3})^k\\\\ &=&\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*z^k-\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{z^k}{2^k}+\bruch{1}{6}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^k}{3^k}\\\\ &=&\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}((1-\bruch{1}{2^k}+\bruch{1}{3^{k+1}})*(-1)^k*z^k)[/mm]

[ok] Kann keine Unstimmigkeit entdecken. Na gut, man könnte die äußere Klammer weglassen [streber]

> Und die zu (b):
>  
> [mm]f(z)=\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*(z^{-k-1}-2^{k-1}*z^{-k-1}+z^k*3^{-k-1})[/mm]
>  
> Rechnung:
>  
> [mm] f(z)&=&\bruch{1}{(z+1)(z+2)(z+3)}\\\\ &=&\bruch{A}{z+1}+\bruch{B}{z+2}+\bruch{C}{z+3}\\\\ &=&\bruch{\bruch{1}{2}}{z+1}-\bruch{1}{z+2}+\bruch{\bruch{1}{2}}{z+3}\\\\ &=&\bruch{1}{2(z-0)}*{\bruch{1}{1-\bruch{-1-0}{z-0}}-\bruch{1}{z-0}*\bruch{1}{1-\bruch{-2-0}{z-0}}-\bruch{1}{2(-3-0)}*\bruch{1}{1-\bruch{z-0}{-3-0}}[/mm]
>  
> [mm]\\\\ &=&\bruch{1}{2z}*{\bruch{1}{1-\bruch{-1}{z}}-\bruch{1}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{-2}{z}}+\bruch{1}{6}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{-3}}[/mm]
>  
> [mm]\\\\ &=&\bruch{1}{2z}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{-1}{z})^k-\bruch{1}{z}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{-2}{z})^k+\bruch{1}{6}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{-3})^k[/mm]

bis hierhin [ok]


> [mm]\\\\ &=&\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*(z^{-k-1}-2^{k-1}*z^{-k-1}+z^k*3^{-k-1})[/mm]

Wenn Du nun den Faktor [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] herausziehst, steht beim zweiten Summanden aber [mm] $2^{k+1}$ [/mm] statt [mm] $2^{k-1}$, [/mm] oder?

Ansonsten ist aber auch hier alles in Ordnung (meine ich). Hoffentlich hast Du es so auch in der Klausur geschrieben ;-)

Viele Grüße
Brigitte
Bezug
                
Bezug
Laurent-Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:54 Mo 02.08.2004
Autor: Joergi

Hallo Brigitte,

danke für deine Antwort.

Und bei beim letzten Schritt von Teil b) hab ich mich verschrieben.

Liebe Grüße
Jörg
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]