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| Aufgabe | | Entwickeln Sie die Funktion f(z) = [mm] \bruch{4z-z²}{(z²-4)(z+1)} [/mm] in dem Kreisring [mm] A_{0,1}(-1) [/mm] in eine Laurentreihe. |
Hi Leutz!
Bin gerade etwas verwirrt bei der Aufgabe.
Die Pole der Funktion befinden sich in -1, -2, 2. Dh, mit diesem Kreisring entwickle ich im Mittelpunkt -1 (1. Pol) und die restlichen Pole befinden sich am Rand.
Bis jetzt habe ich zuerst die Funktion in 3 Terme partialbruchzerlegt, sodass ich die Pole herauskristallisiert habe:
f(z) = [mm] -\bruch{3}{z+2} [/mm] + 1/3 * [mm] \bruch{1}{z-2} [/mm] + 5/3* [mm] \bruch{1}{z+1}
[/mm]
Für -2, 2 ist die Laurententwicklung gleich der Taylorentwicklung. Aber was mache ich mit -1. Unsere Idee war immer die Verwendung der geometrischen Reihe. Aber ich weiß nicht wie ich [mm] \bruch{1}{z+1} [/mm] in eine geometrische Reihe verwandeln soll bzw. ob ich das überhaupt brauche???? Wenn nein, wieso?
Viele Dank & lg
sonnenblumale
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Mo 01.01.2007 | | Autor: | moudi |
> Entwickeln Sie die Funktion f(z) =
> [mm]\bruch{4z-z²}{(z²-4)(z+1)}[/mm] in dem Kreisring [mm]A_{0,1}(-1)[/mm] in
> eine Laurentreihe.
> Hi Leutz!
Hallo sonnenblumale
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> Bin gerade etwas verwirrt bei der Aufgabe.
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> Die Pole der Funktion befinden sich in -1, -2, 2. Dh, mit
> diesem Kreisring entwickle ich im Mittelpunkt -1 (1. Pol)
> und die restlichen Pole befinden sich am Rand.
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> Bis jetzt habe ich zuerst die Funktion in 3 Terme
> partialbruchzerlegt, sodass ich die Pole
> herauskristallisiert habe:
> [mm]f(z) = -\bruch{3}{z+2} + 1/3 * \bruch{1}{z-2} + 5/3* \bruch{1}{z+1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Für -2, 2 ist die Laurententwicklung gleich der
> Taylorentwicklung. Aber was mache ich mit -1. Unsere Idee
> war immer die Verwendung der geometrischen Reihe. Aber ich
> weiß nicht wie ich [mm]\bruch{1}{z+1}[/mm] in eine geometrische
> Reihe verwandeln soll bzw. ob ich das überhaupt brauche????
Nein, dieser Term ist der "-1" Koeffizient der Laurentreihenentwicklung (i.e. [mm] $a_{-1}=5/3$)
[/mm]
Die restlichen Terme [mm] ($\bruch{-3}{z+2} [/mm] + 1/3 [mm] \bruch{1}{z-2}$) [/mm] musst du, da sie bei -1 keine Pole besitzen, als Taylorreihe an der Stelle -1 entwickeln. Das geht am besten, indem du sie als geometrische Reihen schreibst.
[mm] $\frac13 \frac{1}{z-2}=\frac13 \frac{1}{(z+1)-3}=\frac13 \frac{1/3}{(z+1)/3-1}=-\frac19 \frac{1}{1-(z+1)/3}=$
[/mm]
[mm] $=-\frac19\frac{1}{1-x}=-\frac19 (1+x+x^2+x^3+\dots)$, [/mm] wobei $x=(z+1)/3$
$-3 [mm] \frac{1}{z+2}=-3 \frac{1}{(z+1)+1}=-3\frac{1}{1+(z+1)}=$
[/mm]
[mm] $=-3\frac{1}{1+x}=-3(1-x+x^2-x^3+\dots)$, [/mm] wobei $x=(z+1)$
mfG Moudi
> Wenn nein, wieso?
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> Viele Dank & lg
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> sonnenblumale
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