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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Do 17.06.2010 | | Autor: | Doc1083 |
| Aufgabe | | Man berechne die Laurententwicklung im Kreisring [mm] R_{1;4}(0) [/mm] der Funktion [mm] R(z)=\bruch{z+2}{z^2-5z+4}. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zunächst die Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{A}{z-1}+\bruch{B}{z-4}\Rightarrow [/mm] A(z-4)+B(z-1)=Az-4A+Bz-B=Z(A+B)-4A-B
[mm] \Rightarrow [/mm] A*B=1, -4A-B=2 man erhält nach Umformung und Einsetzung: A=-1 und B=2
[mm] R(z)=\bruch{-1}{z-1}+\bruch{2}{z-4}
[/mm]
[mm] \bruch{-1}{z-1}=-\bruch{1}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}}=-\bruch{1}{z}*\summe_{n=0}^{\infty}z^{-n}=-\summe_{n=1}^{\infty}z^{-n}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{z-4}=2*\bruch{1}{z-4}=\bruch{2}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{4}{z}}=\bruch{2}{z}*\summe_{n=0}^{\infty}\left( \bruch{4}{z}\right)^n=\summe_{n=1}^{\infty}8^n*z^{-n}
[/mm]
[mm] R(z)=\summe_{n=1}^{\infty}8^n*z^{-n}-\summe_{n=1}^{\infty}z^{-n}=\summe_{n=1}^{\infty}(8^n-1)*z^{-n}
[/mm]
Das wäre dann meine Laurentreihe, stimmt das oder ist dort irgendwo ein Fehler. Unsicher bin ich mir vor allem bei der Umformung um die geometrische Reihe anzuwenden ich weiß nie wonach man dort umformt, damit es in dem Kreisring entwickelt wird und um 0. Wenn mir das jemand erläutern könnte, wäre ich sehr dankbar.
VG
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Hallo Doc1083,
> Man berechne die Laurententwicklung im Kreisring [mm]R_{1;4}(0)[/mm]
> der Funktion [mm]R(z)=\bruch{z+2}{z^2-5z+4}.[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Zunächst die Partialbruchzerlegung:
> [mm]\bruch{A}{z-1}+\bruch{B}{z-4}\Rightarrow[/mm]
> A(z-4)+B(z-1)=Az-4A+Bz-B=Z(A+B)-4A-B
> [mm]\Rightarrow[/mm] A*B=1, -4A-B=2 man erhält nach Umformung und
> Einsetzung: A=-1 und B=2
>
> [mm]R(z)=\bruch{-1}{z-1}+\bruch{2}{z-4}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-1}{z-1}=-\bruch{1}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}}=-\bruch{1}{z}*\summe_{n=0}^{\infty}z^{-n}=-\summe_{n=1}^{\infty}z^{-n}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> [mm]\bruch{2}{z-4}=2*\bruch{1}{z-4}=\bruch{2}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{4}{z}}=\bruch{2}{z}*\summe_{n=0}^{\infty}\left( \bruch{4}{z}\right)^n=\summe_{n=1}^{\infty}8^n*z^{-n}[/mm]
Die Reihe muss wohl eher lauten:
[mm]\bruch{2}{z-4}=2*\bruch{1}{z-4}=\bruch{2}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{4}{z}}=\bruch{2}{z}*\summe_{n=0}^{\infty}\left( \bruch{4}{z}\right)^n=\summe_{n=1}^{\infty}2*4^{n}*z^{-n}[/mm]
Diese Reihe konvergiert für [mm]\vmat{z}>4[/mm]
Hier wird aber eine Reihe gebraucht, die für [mm]\vmat{z}<4[/mm] konvergiert.
>
> [mm]R(z)=\summe_{n=1}^{\infty}8^n*z^{-n}-\summe_{n=1}^{\infty}z^{-n}=\summe_{n=1}^{\infty}(8^n-1)*z^{-n}[/mm]
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> Das wäre dann meine Laurentreihe, stimmt das oder ist dort
> irgendwo ein Fehler. Unsicher bin ich mir vor allem bei der
> Umformung um die geometrische Reihe anzuwenden ich weiß
> nie wonach man dort umformt, damit es in dem Kreisring
> entwickelt wird und um 0. Wenn mir das jemand erläutern
> könnte, wäre ich sehr dankbar.
>
> VG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Fr 18.06.2010 | | Autor: | Doc1083 |
[mm] \bruch{-1}{z-1}=-\bruch{1}{z}\cdot{}\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}}=-\bruch{1}{z}\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}z^{-n}=-\summe_{n=1}^{\infty}z^{-n}
[/mm]
Ok dann behalte ich das im Hinterkopf und versuche es nochmal mit dem anderen Bruch:
[mm] \bruch{2}{z-4}=2\cdot{}\bruch{1}{4}*\bruch{1}{\bruch{z}{4}-1}=-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{4}}=-\bruch{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{z}{4}\right)^n
[/mm]
Das konvergiert ja für $ [mm] \vmat{z}<4 [/mm] $
Dann müsste die Laurentreihe ja sein:
[mm] -\summe_{n=1}^{\infty}z^{-n}-\bruch{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{z}{4}\right)^n
[/mm]
Stimmt das so?
gibt es irgendeine "Merkregel" wie man die Reihen entwickeln muss oder muss man immer bei jeder Aufgabe neu schauen für was das konvergiert?
VG
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