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| Aufgabe | | Man entwickle die Funktionen [mm] f_{1} [/mm] (z) = [mm] \bruch{1}{z} [/mm] ; [mm] f_{2} [/mm] (z) = [mm] \bruch{1}{(z-2)(z-3)} [/mm] und [mm] f_{3}(z) [/mm] = [mm] \bruch{z}{z-2} [/mm] an z0 = 2 in eine Laurentreihe |
Ich bin bei den Reihenentwicklungen noch etwas unsicher und hoffe, dass jemand meine Überlegungen mal prüfen kann.
Ich fange mal mit f3 an:
Wenn ich das umstelle, also [mm] \bruch{z}{z-2}=1+2*\bruch{1}{z-2}
[/mm]
dann ist das doch schon die Laurentreihe, oder nicht?
f1:
Da habe ich versucht auf die Form mit z-2 zu kommen, um daraus ne geometrische Reihe zu zimmern, also
[mm] \bruch{1}{z}=\bruch{1}{z-2+2}=-\bruch{1}{-2-(z-2)}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-\bruch{z-2}{-2}}=\bruch{1}{2}*\summe_{i=0}^{n} (\bruch{z-2}{-2})^{n}
[/mm]
Kann man so vorgehen?
Und inwiefern kann ich davon ausgehen, dass |z-2|<2 ist.
Ansonsten könnt ich das ja so entwickeln, dass z-2 im Nenner steht,
aber dann ist ja die Frage ob |z-2|>2 ist....
f2 hab ich PBZ gemacht und die einzelnen Terme analog entwickelt,
das ging eigentlich ganz gut auf...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 So 16.04.2006 | | Autor: | topotyp |
Hallo!
Das sieht alles sehr gut aus. Natürlich kannst und musst du annehmen
dass $|z-2|<2$ ist, denn du sollst die Laurententw um z=2 bestimmen
und die existiert nur in einer kleinen umgebung des Punktes [mm] $2\in \mathbb{C}$, [/mm] also
ist auf jeden fall |z-2|< alles positive ein korrekter Ansatz!
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