Laurentreihe < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Sierra |
| Aufgabe | | Zu bestimmen ist die Laurentreihe von [mm] f(z)=\bruch{1}{z*(z-i-1)^{2}} [/mm] , [mm] z\not=0, [/mm] i+1 für [mm] |z|>\wurzel{2} [/mm] mit Entwicklungspunkt 0 |
Hallo,
nach der Partialbruchzerlegung erhalte ich
f(z)= [mm] -\bruch{i}{2z} [/mm] + [mm] \bruch{i}{z-i-1}
[/mm]
Nun weiß ich auch schon nicht so recht weiter, mich stört das i bzw. weiß ich nicht so recht, wie ich den Entwicklungsradius [mm] |z|>\wurzel{2} [/mm] einbeziehen soll. Ansonsten würde ich wie folgt vorgehen:
f(z)= [mm] -\bruch{i}{2z} [/mm] - [mm] \bruch{i}{i+1} *\bruch{1}{1-\bruch{z}{i+1}}
[/mm]
= [mm] -\bruch{i}{2z} [/mm] - i [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{z^{n}}{(i+1)^{n+1}}
[/mm]
Wie gesagt, ich muss doch irgendwie noch [mm] |z|>\wurzel{2} [/mm] einbeziehen... ?
Gruß
Sierra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Mo 12.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zu bestimmen ist die Laurentreihe von
> [mm]f(z)=\bruch{1}{z*(z-i-1)^{2}}[/mm] , [mm]z\not=0,[/mm] i+1 für
> [mm]|z|>\wurzel{2}[/mm] mit Entwicklungspunkt 0
> Hallo,
>
> nach der Partialbruchzerlegung erhalte ich
>
> f(z)= [mm]-\bruch{i}{2z}[/mm] + [mm]\bruch{i}{z-i-1}[/mm]
>
> Nun weiß ich auch schon nicht so recht weiter, mich stört
> das i bzw. weiß ich nicht so recht, wie ich den
> Entwicklungsradius [mm]|z|>\wurzel{2}[/mm] einbeziehen soll.
> Ansonsten würde ich wie folgt vorgehen:
>
> f(z)= [mm]-\bruch{i}{2z}[/mm] - [mm]\bruch{i}{i+1} *\bruch{1}{1-\bruch{z}{i+1}}[/mm]
>
> = [mm]-\bruch{i}{2z}[/mm] - i [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{z^{n}}{(i+1)^{n+1}}[/mm]
Das ist doch schon prima. Nur mit dem Summationsindex n:
(*) [mm]-\bruch{i}{2z}[/mm] - i [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^{n}}{(i+1)^{n+1}}[/mm]
>
> Wie gesagt, ich muss doch irgendwie noch [mm]|z|>\wurzel{2}[/mm]
> einbeziehen... ?
Steht in der Aufgabenstellung nicht [mm]0<|z|<\wurzel{2}[/mm] ??
Die reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^{n}}{(i+1)^{n+1}} [/mm] hat den Konvergenzradius [mm] \wurzel{2}. [/mm] somit konvergiert die Reihe in (*) für [mm]0<|z|<\wurzel{2}[/mm]
FRED
>
> Gruß
> Sierra
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Sierra |
Hallo und danke für deine Antwort
> Das ist doch schon prima. Nur mit dem Summationsindex n:
>
> (*) [mm]-\bruch{i}{2z}[/mm] - i [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^{n}}{(i+1)^{n+1}}[/mm]
>
Das war natürlich so gemeint ;)
>
> Steht in der Aufgabenstellung nicht [mm]0<|z|<\wurzel{2}[/mm] ??
>
> Die reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^{n}}{(i+1)^{n+1}}[/mm]
> hat den Konvergenzradius [mm]\wurzel{2}.[/mm] somit konvergiert die
> Reihe in (*) für [mm]0<|z|<\wurzel{2}[/mm]
>
In der Aufgabe steht wirklich, dass die Laurentreihe für [mm] |z|>\wurzel{2} [/mm] zu bestimmen ist. Ist sogar eine alte Klausuraufgabe, also ist es wahrscheinlich auch kein Tippfehler...
Da die Reihe nur bis [mm] \wurzel{2} [/mm] konvergiert ist das Ergebnis nun eigentlich doch quatsch, oder nicht?
>
> FRED
Gruß
Sierra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Mo 12.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Also für |z| > [mm] \wurzel{2} [/mm] musst du eine Reihe aufstellen, die für diesen Bereich geeignet ist. Ist |z| > [mm] \wurzel{2} [/mm] gilt dein Verfahren, wo du den Term hier:
- [mm] \bruch{i}{z-i-1}
[/mm]
...als eine geometrische Reihe schreibst ja nicht mehr. Du musst also jetzt z im Nenner ausklammern - anstelle von i+1.
Der erste Term - [mm] \bruch{i}{2*z} [/mm] ist noch richtig, ist ja auch entwicklungstelle 0.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Sierra |
Hallo :)
dann würde ich wie folgt vorgehen:
f(z)= [mm] -\bruch{i}{2z} [/mm] + [mm] \bruch{i}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{i+1}{z}} [/mm] = [mm] -\bruch{i}{2z} [/mm] + i [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(i+1)^{n-1}}{z^{n}}
[/mm]
Ehrlich gesagt sehe ich nicht auf Anhieb den Konvergenzradius dieser Reihen. Gibt es da irgendeinen Trick, um Rechenzeit sparen zu können?
Gruß
Sierra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Mo 12.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo :)
>
> dann würde ich wie folgt vorgehen:
>
> f(z)= [mm]-\bruch{i}{2z}[/mm] +
> [mm]\bruch{i}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{i+1}{z}}[/mm] = [mm]-\bruch{i}{2z}[/mm] +
> i [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(i+1)^{n-1}}{z^{n}}[/mm]
>
> Ehrlich gesagt sehe ich nicht auf Anhieb den
> Konvergenzradius dieser Reihen. Gibt es da irgendeinen
> Trick, um Rechenzeit sparen zu können?
Geometrische Reihe ! [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(i+1)^{n-1}}{z^{n}} [/mm] ist konvergent [mm] \gdw \bruch{|i+1|}{|z|}<1 \gdw [/mm] $|z|> [mm] \wurzel{2}$
[/mm]
FRED
>
> Gruß
> Sierra
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Sierra |
Äh, ja .. :D
Vielen Dank euch beiden
> Geometrische Reihe ! [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(i+1)^{n-1}}{z^{n}}[/mm]
> ist konvergent [mm]\gdw \bruch{|i+1|}{|z|}<1 \gdw[/mm] [mm]|z|> \wurzel{2}[/mm]
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