Laurentreihenentwicklung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Externes Bild http://img407.imageshack.us/img407/8397/laurentb.jpg] |
Hallo!
Ich habe da eine kleine Frage zum Beweis des Laurent-Entwicklungssatz
aus dem Jänich Funktionentheorie. Ich poste den entsprechenden Abschnitt einfach mal. Ich hoffe, dass ist aus rechtlicher Sicht okay, da es a) wirklich nur ein sehr kleiner Ausschnitt ist und b) so afaik auch auf google-books zu finden ist. Außerdem wäre das wohl sehr aufwändig in Worten zu beschreiben. Also mein Problem ist eben folgendes:
Den ersten Schritt mit der Cauchy-Integralformel und dem Kreis mit Radius Epsilon um [mm] z_0 [/mm] verstehe ich noch. Warum der Rest gilt und was diese Skizzen sollen und warum ich den Weg so verändern kann verstehe ich nicht. Ich vermute, dass das ganze aus dem Cauchy-Integralsatz für Kreisringe folgt. Aber wie ist mir nicht wirklich klar. (Ähnlich beweis das Freitag in seinem Buch auf S-142 glaub ich auch [zumindest sieht das Bild so ähnlich aus]. Allerdings verstehe ich da auch nicht wirklich warum sich nur die "Randkreise" nicht wegheben...das Buch findet man z.B. auf springerlink.com)
Also es wäre super wenn ihr mir helfen könntet! Weiß grad nämlich echt nicht weiter!!
Gruß!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
P.S. Wenn das mit dem Scan aus dem Jänich nicht okay ist, bitte ich die Moderatoren das Bild zu entfernen! Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Di 25.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [Externes Bild http://img407.imageshack.us/img407/8397/laurentb.jpg]
> Hallo!
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> Ich habe da eine kleine Frage zum Beweis des
> Laurent-Entwicklungssatz
> aus dem Jänich Funktionentheorie. Ich poste den
> entsprechenden Abschnitt einfach mal. Ich hoffe, dass ist
> aus rechtlicher Sicht okay, da es a) wirklich nur ein sehr
> kleiner Ausschnitt ist und b) so afaik auch auf
> google-books zu finden ist.
Nein, es ist rechtlich nicht OK. Die Größe des Auschnitts spielt keine Rolle, auch nicht, dass es woanders erschienen ist.
> Außerdem wäre das wohl sehr
> aufwändig in Worten zu beschreiben. Also mein Problem ist
> eben folgendes:
> Den ersten Schritt mit der Cauchy-Integralformel und dem
> Kreis mit Radius Epsilon um [mm]z_0[/mm] verstehe ich noch. Warum
> der Rest gilt und was diese Skizzen sollen und warum ich
> den Weg so verändern kann verstehe ich nicht. Ich vermute,
> dass das ganze aus dem Cauchy-Integralsatz für Kreisringe
> folgt.
Da f im gesamten Kreisring holomorph ist, ist das Integral gleich, egal über welchen einmal geschlossenen Weg um den Punkt z integriert wird. Daher ist das Integral für die beiden Wege im ersten und im zweiten Bild gleich.
Für den nächsten Schritt addiere ich ein Integral, dessen Wert 0 ist: nämlich das Integral über den Weg, der sich als Differenz des Wege aus dem dritten und dem zweiten Bild ergibt. Dieser Weg beginnt an der linken unteren Ecke des Vierecks im zweiten Bild, verläuft entlang der linken Seite zur linken oberen Ecke, dann im Radius [mm] $R-\delta$ [/mm] um am äußeren Rand des Kreisrings entlang bis zur rechten oberen Ecke, von dort entlang der rechten Seite des Vierecks zur rechten unteren Ecke, und dann im Radius [mm] $r+\delta$ [/mm] am inneren Rand des Kreisrings entlang zum Ausgangspunkt. Das Innere dieses Weges ist also ungefähr der Kreisring ohne das Viereck. Da z nicht in diesem Inneren liegt, ist das Integral also 0.
Daraus folgt, dass das Integral über den Weg im ersten Bild gleich der Summe der beiden Integrale im dritten Bild ist, und nichts Anderes sagt die Gleichung aus.
Viele Grüße
Rainer
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