Lebensdauer einer Glühbirne < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Di 22.06.2010 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Hallo,
könnt ihr mir bitte bei folgender Aufgabe helfen:
Glühlampen einer bestimmten Sorte haben eine mittlere Lebensdauer von 100 Stunden. Die zufällige Lebensdauer sei exponentialverteilt. Angenommen Sie haben drei solche Glühbirnen, schrauben eine in eine Lampe und ersetzen jede defekte Glühbirne sofort. Geben Sie ein Modell für die Zeit, bis alle drei Glühbirnen defekt sind.
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Mein ansatz:
Mittlere Lebensdauer von 100h
=>
p(x=k)= [mm] \bruch{l^k}{k!}*e^{-l}
[/mm]
k=0,1,2,3
damit komm ich nicht weiter
dann hab ich irgendwo gelesen, dass die summe von exponentialverteilten zufallsvariablen ebenfalls exponentailverteilt sist.
aber ich weiß nicht wie ich nun vorgehen soll
wie würdet ihr an so eine aufgabe rangehen?
mfg
matheja
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Hallo!
> Glühlampen einer bestimmten Sorte haben eine mittlere
> Lebensdauer von 100 Stunden. Die zufällige Lebensdauer sei
> exponentialverteilt. Angenommen Sie haben drei solche
> Glühbirnen, schrauben eine in eine Lampe und ersetzen jede
> defekte Glühbirne sofort. Geben Sie ein Modell für die
> Zeit, bis alle drei Glühbirnen defekt sind.
> Mein ansatz:
>
> Mittlere Lebensdauer von 100h
> =>
> p(x=k)= [mm]\bruch{l^k}{k!}*e^{-l}[/mm]
Das ist aber keine Exponentialverteilung!
X sei Exponentialverteilung zum Parameter [mm] \lambda.
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \IP(X [/mm] = k) = [mm] \lambda*e^{-\lambda*k}$
[/mm]
(jetzt nur für [mm] k\in\IR, k\ge [/mm] 0).
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Glühbirne k Stunden durchhält, ist [mm] $\lambda*e^{-\lambda*x}$.
[/mm]
Hier ist von einer "mittleren Lebensdauer von 100 Stunden" die Rede.
Es ist der Erwartungswert $E(X) = [mm] \frac{1}{\lambda}$.
[/mm]
Was ist also [mm] \lambda [/mm] in dieser Verteilung?
> dann hab ich irgendwo gelesen, dass die summe von
> exponentialverteilten zufallsvariablen ebenfalls
> exponentailverteilt sist.
Genau, das brauchen wir!
Seien [mm] X_{1}, X_{2},X_{3} [/mm] die "Lebensdauern" der Glühbirnen 1,2,3.
Dann ist [mm] $X_{1}+X_{2}+X_{3}$ [/mm] die Zeit, die vergeht, bis alle drei Glühbirnen durchgebrannt sind (nach dem in der Aufgabenstellung beschriebenen Austausch-Vorgehen).
Zur Unterscheidung: [mm] $max(X_1,X_2,X_3)$ [/mm] wäre die Zeit, die vergeht bis alle drei Glühbirnen druchgebrannt sind, wenn ich alle Glühbirnen gleichzeitig brennen lassen würde!
Um auf diesen Ansatz zu kommen, muss dir klar sein, dass das X oben in den Termen nicht für eine Wahrscheinlichkeit, sondern für die Anzahl der Stunden steht, die die Glühbirne überlebt. Dann ist [mm] $X_{1}+X_{2}+X_{3}$ [/mm] nichts anderes als:
Anzahl Stunden, die Glühbirne 1 überlebt
+ Anzahl Stunden, die Glühbirne 2 überlebt
+ Anzahl Stunden, die Glühbirne 3 überlebt
und damit genau das, was in der Aufgabenstellung gesucht ist.
-------
Wir suchen nun [mm] $P(X_1+X_2+X_3 [/mm] = k)$, also die Wahrscheinlichkeiten, dass die drei Glühbirnen hintereinander eingesetzt k Stunden überleben.
Dabei hilft uns nun, dass die Summe von exponentialverteilten Zufallsvariablen wieder exponentialverteilt ist. Genauer ist [mm] $X_1+X_2+X_3$ [/mm] exponentialverteilt zum Parameter [mm] $\lambda+\lambda+\lambda [/mm] = [mm] 3*\lambda$. [/mm] Nun kannst du die Wahrscheinlichkeiten angeben!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Mi 23.06.2010 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | | Danke Steppenhahn :) |
> Hallo!
> X sei Exponentialverteilung zum Parameter [mm]\lambda.[/mm]
> [mm]\Rightarrow \IP(X = k) = \lambda*e^{-\lambda*x}[/mm]
> (jetzt
> nur für [mm]k\in\IR, k\ge[/mm] 0).
>
> Die Wahrscheinlichkeit, dass die Glühbirne k Stunden
> durchhält, ist [mm]\lambda*e^{-\lambda*x}[/mm].
> Hier ist von einer "mittleren Lebensdauer von 100 Stunden"
> die Rede.
>
> Es ist der Erwartungswert [mm]E(X) = \frac{1}{\lambda}[/mm].
> Was
> ist also [mm]\lambda[/mm] in dieser Verteilung?
=> 1/100
> Genau, das brauchen wir!
> Seien [mm]X_{1}, X_{2},X_{3}[/mm] die "Lebensdauern" der
> Glühbirnen 1,2,3.
> Dann ist [mm]X_{1}+X_{2}+X_{3}[/mm] die Zeit, die vergeht, bis alle
> drei Glühbirnen durchgebrannt sind (nach dem in der
> Aufgabenstellung beschriebenen Austausch-Vorgehen).
> Zur Unterscheidung: [mm]max(X_1,X_2,X_3)[/mm] wäre die Zeit, die
> vergeht bis alle drei Glühbirnen druchgebrannt sind, wenn
> ich alle Glühbirnen gleichzeitig brennen lassen würde!
>
> Um auf diesen Ansatz zu kommen, muss dir klar sein, dass
> das X oben in den Termen nicht für eine
> Wahrscheinlichkeit, sondern für die Anzahl der Stunden
> steht, die die Glühbirne überlebt. Dann ist
> [mm]X_{1}+X_{2}+X_{3}[/mm] nichts anderes als:
>
> Anzahl Stunden, die Glühbirne 1 überlebt
> + Anzahl Stunden, die Glühbirne 2 überlebt
> + Anzahl Stunden, die Glühbirne 3 überlebt
>
> und damit genau das, was in der Aufgabenstellung gesucht
> ist.
>
> -------
>
> Wir suchen nun [mm]P(X_1+X_2+X_3 = k)[/mm], also die
> Wahrscheinlichkeiten, dass die drei Glühbirnen
> hintereinander eingesetzt k Stunden überleben.
> Dabei hilft uns nun, dass die Summe von
> exponentialverteilten Zufallsvariablen wieder
> exponentialverteilt ist. Genauer ist [mm]X_1+X_2+X_3[/mm]
> exponentialverteilt zum Parameter [mm]\lambda+\lambda+\lambda = 3*\lambda[/mm].
> Nun kannst du die Wahrscheinlichkeiten angeben!
[mm] E(x)_{1+2+3}=1/(3* \lambda [/mm] )= 1/300
In Formel einsetzen
[mm] \IP(X [/mm] = k) = [mm] \lambda*e^{-\lambda*x}
[/mm]
[mm] =1/300*e^{-1/300*x}
[/mm]
ist das soweit korrekt, wie muss ich un mein x wählen
das hab ich noch nicht ganz gechekt :)
> Grüße,
> Stefan
>
echt derbes danke
mfg
matheja
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Hallo!
> > X sei Exponentialverteilung zum Parameter [mm]\lambda.[/mm]
> > [mm]\Rightarrow \IP(X = k) = \lambda*e^{-\lambda*x}[/mm]
> > ist also [mm]\lambda[/mm] in dieser Verteilung?
>
> => 1/100
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nun habe ich im letzten Post leider einen Fehler gemacht. Ich habe mich beim Wiki verlesen.
Die Summe [mm] $X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] + [mm] X_3$ [/mm] ist nicht exponentialverteilt.
Entweder, du berechnest selbst, wie die Verteilung ist [Faltung von Zufallsvariablen], oder du schaust mal bei der ![[]](/images/popup.gif) Erlang-Verteilung vorbei.
> [mm]E(x)_{1+2+3}=1/(3* \lambda[/mm] )= 1/300
> In Formel einsetzen
> [mm]\IP(X[/mm] = k) = [mm]\lambda*e^{-\lambda*x}[/mm]
> [mm]=1/300*e^{-1/300*x}[/mm]
> ist das soweit korrekt, wie muss ich un mein x wählen
> das hab ich noch nicht ganz gechekt :)
[Wäre die Verteilung richtig, ] wärst du jetzt fertig!
In der Aufgabe ist nicht nach einem bestimmten Zahlenwert gesucht - du sollst angeben, wie die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass die drei Glühbirnen nacheinander nach x Stunden durchbrennen. Das verstehe ich zumindest unter "Geben Sie ein Modell für die Zeit, bis alle drei Glühbirnen defekt sind."
Grüße,
Stefan
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Hallo matheja !
ist die Rechnung (mit der von steppenhahn vorgeschlagenen
Erlang-Verteilung) geglückt ?
Ich komme dabei für die Zeitdauer t bis zum Versagen der
dritten Lampe auf die Verteilungsfunktion
$\ f(t)\ =\ [mm] \frac{1}{2*10^{\,6}} [/mm] \ * [mm] t^2 [/mm] * [mm] e^{-\frac{t}{100}}$
[/mm]
Nachrechnen zeigt, dass der Erwartungswert dieser Verteilung
tatsächlich 300 (Stunden) ergibt.
Genügt es für deine Aufgabe, die Aussage über den Zusammen-
hang zwischen Exponential- und Erlang-Verteilung einfach zu
benützen oder muss alles hergeleitet werden ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Di 29.06.2010 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Hallo lieben dank für eure Hilfe,
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> ist die Rechnung (mit der von steppenhahn vorgeschlagenen
> Erlang-Verteilung) geglückt ?
ne leider noch nicht ganz :(
> Ich komme dabei für die Zeitdauer t bis zum Versagen der
> dritten Lampe auf die Verteilungsfunktion
>
> [mm]\ f(t)\ =\ \frac{1}{2*10^{\,6}} \ * t^2 * e^{-\frac{t}{100}}[/mm]
ich kann leider nicht nachvollziehen, wie du auf dein Ansatz kommst
> Nachrechnen zeigt, dass der Erwartungswert dieser
> Verteilung
> tatsächlich 300 (Stunden) ergibt.
>
> Genügt es für deine Aufgabe, die Aussage über den
> Zusammen-
> hang zwischen Exponential- und Erlang-Verteilung einfach
> zu
> benützen oder muss alles hergeleitet werden ?
Ne dass war teil der ersten teil aufgabe.nun komm ich aber ins grübeln bzgl der erlangverteilung:
Die erste Teilaufgabe lautete:
Seien X und Y stochastisch unabhängige Poisson-verteilte Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, [/mm] A, P) mit Parametern [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2. [/mm] Wie ist X + Y verteilt? Beweisen Sie Ihre Aussage.
Es gilt:Die Poisson-Verteilung ist reproduktiv, d.h. die Summe X1 + X2 zweier stochastisch unabhängiger Poisson-verteilter Zufallsvariablen X1 und X2 mit den Parametern λ1 und λ2 ist wieder Poisson-verteilt mit dem Parameter λ1 + λ2
Ich hab das dann mithilfe von wiki bewiesen ;)
siehe link:http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung
Eigenschaft:Reproduktivität
Unklar bleibt also nur noch wie du auf dein ansatz gekommen bist
beste grüße
matheja
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> Hallo lieben dank für eure Hilfe,
>
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> > ist die Rechnung (mit der von steppenhahn vorgeschlagenen
> > Erlang-Verteilung) geglückt ?
> ne leider noch nicht ganz :(
> > Ich komme dabei für die Zeitdauer t bis zum Versagen
> der
> > dritten Lampe auf die Verteilungsfunktion
> >
> > [mm]\ f(t)\ =\ \frac{1}{2*10^{\,6}} \ * t^2 * e^{-\frac{t}{100}}[/mm]
>
> ich kann leider nicht nachvollziehen, wie du auf dein
> Ansatz kommst
> > Nachrechnen zeigt, dass der Erwartungswert dieser
> > Verteilung
> > tatsächlich 300 (Stunden) ergibt.
> >
> > Genügt es für deine Aufgabe, die Aussage über den
> > Zusammen-
> > hang zwischen Exponential- und Erlang-Verteilung
> einfach
> > zu
> > benützen oder muss alles hergeleitet werden ?
> Ne dass war teil der ersten teil aufgabe.nun komm ich aber
> ins grübeln bzgl der erlangverteilung:
>
>
> Die erste Teilaufgabe lautete:
>
> Seien X und Y stochastisch unabhängige Poisson-verteilte
> Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega,[/mm]
> A, P) mit Parametern [mm]\lambda_1[/mm] und [mm]\lambda_2.[/mm] Wie ist X + Y
> verteilt? Beweisen Sie Ihre Aussage.
>
> Es gilt:Die Poisson-Verteilung ist reproduktiv, d.h. die
> Summe X1 + X2 zweier stochastisch unabhängiger
> Poisson-verteilter Zufallsvariablen X1 und X2 mit den
> Parametern λ1 und λ2 ist wieder Poisson-verteilt mit dem
> Parameter λ1 + λ2
> Ich hab das dann mithilfe von wiki bewiesen ;)
> siehe
> link:http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung
> Eigenschaft:Reproduktivität
>
> Unklar bleibt also nur noch wie du auf dein ansatz gekommen
> bist
>
> beste grüße
> matheja
Hallo matheja,
in deiner ersten Frage, die du hier gestellt hast, hast du
ausdrücklich von einer Exponentialverteilung und nicht
Poissonverteilung geschrieben.
Die dort angegebene Formel war allerdings die einer Poisson-
verteilung. Steppenhahn hat auf die Unstimmigkeit hingewiesen
und die richtige Formel für die Exponentialverteilung angegeben.
Im Folgenden sind wir in diesem Thread bei der Annahme einer
Exponentialverteilung geblieben - mit der Konsequenz, dass die
Gesamtleuchtdauer von mehreren Glühbirnen Erlang-verteilt
sein müsste.
Soll nun doch wieder eine Poisson-Verteilung zugrunde gelegt
werden ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Di 29.06.2010 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Hallo Al-Chawarizmi, ersteinmal danke für den Hinweis,
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Teil a:poissonverteilt (Beweis )
Teil b: exponentialverteilt (Aufgabe mit den Glühbirnen
a und b haben nichts miteinander zu tun
die glühbirnen aufgabe ist exponentialverteilt,
allerdings kann ich deine lösung nicht nachvollziehen,
da liegt mein problem
beste grüße
matheja
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> Hallo Al-Chawarizmi, ersteinmal danke für den Hinweis,
>
> Teil a:poissonverteilt (Beweis )
> Teil b: exponentialverteilt (Aufgabe mit den Glühbirnen
>
> a und b haben nichts miteinander zu tun
>
> die glühbirnen aufgabe ist exponentialverteilt,
>
> allerdings kann ich deine lösung nicht nachvollziehen,
> da liegt mein problem
>
> beste grüße
>
> matheja
Guten Abend,
für eine einzelne Glühbirne haben wir also eine Expo-
nentialverteilung
$\ [mm] f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{für } x<0 \\ \lambda*e^{-\lambda*x} & \mbox{für } x\ge0 \end{cases}$
[/mm]
mit [mm] \lambda=\frac{1}{100}=0.01
[/mm]
Gemäß diesem Link ist dann die Gesamt-Brenndauer für
3 Glühbirnen Erlang-verteilt mit n=3 und [mm] \lambda=0.01.
[/mm]
Einsetzen dieser Werte in die entsprechende Formel
[mm] f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{(\lambda x)^{n-1}}{(n-1)!}\lambda\, \mathrm{e}^{-\lambda x} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}
[/mm]
führt dann nach Vereinfachung zu der Formel, die ich
angegeben hatte.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Di 29.06.2010 | | Autor: | matheja |
derbes danke an euch :) :) :)
LG
matheja
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> derbes danke an euch :) :) :)
>
> LG
> matheja
Hallo matheja,
könntest du mir das mal noch erklären, worüber ich mich
nun schon mehrmals gewundert habe:
Was verstehst du unter einem "derben" Danke ?
Die ursprünglichen Bedeutungen des Wortes "derb" (also
grob, rauh, vulgär) sind mir bekannt, aber manchmal werden
ja Wörter (wie zum Beispiel "toll", "geil", "krass" etc.) total
umfunktioniert.
Beim Ausdruck "derb" bin ich wirklich einmal unsicher, wer
da wohl nicht so recht auf der Höhe der gegenwärtigen
Jargons angelangt ist.
Schönen Abend !
Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Fr 02.07.2010 | | Autor: | matheja |
hi Al- Chawarizmi,
zu deiner Frage:was ist derber dank?
1.ersteinmal :D
2.darüber zerbrechen sich die Philosophen schon seit jahren den kopf-
-quatsch nur jokle gell ;(
3.derbes danke ist einfach hamburger slang und heißt dickes,fettes dankeschön bzw. tiefe dankbarkeit
LG
matheja
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> derbes danke ist einfach hamburger slang und heißt
> dickes, fettes dankeschön bzw. tiefe dankbarkeit
danke für die sprachliche Nachhilfe
und weil dieses dicke fette Hamburger-Dankeschön mir galt,
erst recht !
LG Al
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> X sei Exponentialverteilung zum Parameter [mm]\lambda.[/mm]
> [mm]\Rightarrow \IP(X = k) = \lambda*e^{-\lambda*x}[/mm]
> (jetzt nur für [mm]k\in\IR, k\ge[/mm] 0).
>
> Die Wahrscheinlichkeit, dass die Glühbirne k Stunden
> durchhält, ist [mm]\lambda*e^{-\lambda*x}[/mm].
Hallo Stefan,
du mischst hier die Variablen etwas durcheinander:
entweder x oder k benützen !
LG Al-Chw.
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Hallo Al-Chwarizmi,
danke für die Korrektur 
Ändere es gleich.
Grüße,
Stefan
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