Lebesgue-Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 So 29.08.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich hab da eine Frage zur Defintion des Lebesgue-Integrals.
Und zwar hab ich hier in meinem Skript eine Definition für ein Integral, allerdings weiß ich nicht, ob es das Lebesgue-Integral ist.
Hier die Defintion:
Sei [mm] (X,S,\mu) [/mm] ein Maßraum, $E [mm] \in [/mm] S$, $f: E [mm] \to [-\infty, \infty]$ [/mm] messbar. Die Funktion f heißt [mm] \mu-integrierbar, [/mm] falls sowohl [mm] f_{+}=max\{f,0\} [/mm] also auch [mm] f_{-}=max\{-f,0\} [/mm] integrierbar sind. Man setzt [mm] \int_{E}^{}fd\mu=\int_{E}^{}f_{+}d\mu-\int_{E}^{}f_{-}d\mu
[/mm]
Die Menge aller [mm] \mu-integrierbaren [/mm] Funktionen [mm] f:E\to\IR [/mm] wird [mm] L_1(E,\mu) [/mm] genannt.
Ist das die Defintion des Lebesgue-Integrals?
Irgendwie versteh ich die nicht so ganz.
Was z.B. ist das Maximum von einer Funktion und 0, wie kann man eine Funktion und die Zahl 0 größenmäßig vergleichen?
Und wie genau berechnet man dann so ein Integral, was über E definiert ist?
Hoffe, ihr könnt mir helfen.
LG Nadine
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Hallo!
> Hallo zusammen!
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> Ich hab da eine Frage zur Defintion des
> Lebesgue-Integrals.
>
> Und zwar hab ich hier in meinem Skript eine Definition für
> ein Integral, allerdings weiß ich nicht, ob es das
> Lebesgue-Integral ist.
>
> Hier die Defintion:
>
> Sei [mm](X,S,\mu)[/mm] ein Maßraum, [mm]E \in S[/mm], [mm]f: E \to [-\infty, \infty][/mm]
> messbar. Die Funktion f heißt [mm]\mu-integrierbar,[/mm] falls
> sowohl [mm]f_{+}=max\{f,0\}[/mm] also auch [mm]f_{-}=max\{-f,0\}[/mm]
> integrierbar sind. Man setzt
> [mm]\int_{E}^{}fd\mu=\int_{E}^{}f_{+}d\mu-\int_{E}^{}f_{-}d\mu[/mm]
> Die Menge aller [mm]\mu-integrierbaren[/mm] Funktionen [mm]f:E\to\IR[/mm]
> wird [mm]L_1(E,\mu)[/mm] genannt.
> Ist das die Defintion des Lebesgue-Integrals?
Naja - wenn [mm] \mu [/mm] das Lebesque-Maß ist, dann ist das ein Teil der Definition des Lebesque-Integrals. Allerdings fehlt da ja noch: Wie sind die beiden Integrale auf der rechten Seite definiert?
> Irgendwie versteh ich die nicht so ganz.
> Was z.B. ist das Maximum von einer Funktion und 0, wie
> kann man eine Funktion und die Zahl 0 größenmäßig
> vergleichen?
Das ist punktweise gemeint. [mm] f_{+} [/mm] stellt den Positivteil einer Funktion f dar. Es ist also [mm] $f_{+}(x) [/mm] = max(f(x),0)$.
Stell' dir dazu den Graphen einer Funktion f vor. Die Funktion f braucht ja nicht nur positive Werte zu haben, die kann ja auch mal unter die x-Achse gehen. Bei [mm] f_{+} [/mm] sind diese Teile der Funktion f herausgeschnitten und [mm] f_{+} [/mm] ist dort konstant Null.
> Und wie genau berechnet man dann so ein Integral, was
> über E definiert ist?
Soweit ich weiß, wird das Lebesque-Integral nur eingefuehrt, um das Riemann-Integral in einigen Aspekten zu verallgemeinern. Es gibt irgendeinen Satz, der sagt, dass Lebesque- und Riemannintegral fast immer denselben Wert haben - du rechnest Integrale also weiterhin mit Stammfunktionen aus.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:16 Mo 30.08.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Stefan!
> > Hier die Defintion:
> >
> > Sei [mm](X,S,\mu)[/mm] ein Maßraum, [mm]E \in S[/mm], [mm]f: E \to [-\infty, \infty][/mm]
> > messbar. Die Funktion f heißt [mm]\mu-integrierbar,[/mm] falls
> > sowohl [mm]f_{+}=max\{f,0\}[/mm] also auch [mm]f_{-}=max\{-f,0\}[/mm]
> > integrierbar sind. Man setzt
> > [mm]\int_{E}^{}fd\mu=\int_{E}^{}f_{+}d\mu-\int_{E}^{}f_{-}d\mu[/mm]
> > Die Menge aller [mm]\mu-integrierbaren[/mm] Funktionen [mm]f:E\to\IR[/mm]
> > wird [mm]L_1(E,\mu)[/mm] genannt.
> > Ist das die Defintion des Lebesgue-Integrals?
>
> Naja - wenn [mm]\mu[/mm] das Lebesque-Maß ist, dann ist das ein
> Teil der Definition des Lebesque-Integrals. Allerdings
> fehlt da ja noch: Wie sind die beiden Integrale auf der
> rechten Seite definiert?
Ja, das hab ich mich auch gefragt, da stand nix zu...
Generell werden im Skript oft Integrale der Form [mm] \int_{E}^{}fd\mu [/mm] benutzt, z.B. bei Beweisen, und ich weiß nie so recht, was ich damit anfangen soll, weil wie integriere ich eine Funktion f nach einem Maß?
Bzw. was genau bedeutet das, nach einem Maß [mm] \mu [/mm] zu integrieren? Bei einem "normalen" Intgeral [mm] \int_{a}^{b}f(x)dx [/mm] gibt mir der Buchstabe hinter dem "d" ja an, nach welcher Variablen ich integrieren soll, aber in einer Funktionvorschrift für f steht ja kein Maß [mm] \mu [/mm] drin oder so...
LG Nadine
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Hallo Nadine,
> Ja, das hab ich mich auch gefragt, da stand nix zu...
das kann ich mir eigentlich nicht vorstellen.
Auch in deiner Vorlesung hat man garantiert die Integration von Maßintegralen in folgenden Schritten eingeführt:
1.) Integration von einfachen (bzw. Indikator-) Funktionen
2.) Integration von nichtnegativen Funktionen (dazu zählen auch $f^+$ und $f^-$)
3.) allgemeine Integration
such danach mal in deinem Skript und du wirst festellen, dass es eigentlich nicht allzu schwer ist.
Bei 2.) gibt es mehrere Möglichkeiten das zu machen, darum wäre es gut zu wissen, für welchen Weg sich dein Prof entschieden hat 
> wie integriere ich eine Funktion f nach einem Maß?
> Bzw. was genau bedeutet das, nach einem Maß $ [mm] \mu [/mm] $ zu integrieren?
Das hängt sehr stark davon ab, wie dein Prof den 2.) Punkt eingeführt hat. Es gibt mehrere Wege das zu berechnen und je nachdem was in deiner Vorlesung eingeführt wurde, wirst du das dann tun müssen.
Bei einfachen Funktionen ist es aber eine einfache Summenbildung.
Schlag nochmal nach und dann sag uns, wie ihr es gemacht habt
MFG,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Mo 30.08.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Gono!
> Hallo Nadine,
>
> > Ja, das hab ich mich auch gefragt, da stand nix zu...
>
> das kann ich mir eigentlich nicht vorstellen.
> Auch in deiner Vorlesung hat man garantiert die
> Integration von Maßintegralen in folgenden Schritten
> eingeführt:
>
> 1.) Integration von einfachen (bzw. Indikator-) Funktionen
> 2.) Integration von nichtnegativen Funktionen (dazu
> zählen auch [mm]f^+[/mm] und [mm]f^-[/mm])
> 3.) allgemeine Integration
>
> such danach mal in deinem Skript und du wirst festellen,
> dass es eigentlich nicht allzu schwer ist.
> Bei 2.) gibt es mehrere Möglichkeiten das zu machen,
> darum wäre es gut zu wissen, für welchen Weg sich dein
> Prof entschieden hat
>
> > wie integriere ich eine Funktion f nach einem Maß?
> > Bzw. was genau bedeutet das, nach einem Maß [mm]\mu[/mm] zu
> integrieren?
>
> Das hängt sehr stark davon ab, wie dein Prof den 2.) Punkt
> eingeführt hat. Es gibt mehrere Wege das zu berechnen und
> je nachdem was in deiner Vorlesung eingeführt wurde, wirst
> du das dann tun müssen.
> Bei einfachen Funktionen ist es aber eine einfache
> Summenbildung.
> Schlag nochmal nach und dann sag uns, wie ihr es gemacht
> habt
Also:
Der einleitende Satz war, dass wir das Integral erst für einfache, dannach für nichtnegative und später für allgemeine messbare Funktionen definieren.
1) In der ersten Definition wird erstmal gesagt, wann eine einfache Funktion integrierbar heißt. Das Integral [mm] $\int_{E}^{}\phi d\mu$ [/mm] über die einfache Funktion ist dann definiert als [mm] \summe_{y \in \phi(e)-\{0\}}^{}y\mu(\phi^{-1}(y))
[/mm]
So, das ist also die Definition des Integrals für eine einfache Funktiom? Ich bilde also die Summe über Funktionswerte multipliziert mit dem Maß des jeweiligen Urbildes?
So, dann hab ich eine nächste Definition:
2) Ich hab eine messbare Funktion gegeben. Und das Integral darüber ist dann definiert als [mm] \int_{E}^{}fd\mu=sup\{\int_{E}^{}\phi d\mu | \phi:E \to\IR einfach,integrierbar,\phi
Und dann wird gesagt, dass f [mm] \mu-integierbar, [/mm] falls [mm] \int_{E}^{}fd\mu<\infty
[/mm]
Was ist das denn jetzt für eine Definition? Ist das jetzt für einfache, für nichtnegative oder für allgemeine messbare Funktionen?
Ja, und dann kommt die allgemeine Definition des Integrals, die ich vorhin schon aufgeschrieben habe:
3) Sei [mm] (X,S,\mu) [/mm] ein Maßraum, $E [mm] \in [/mm] S$, $f: E [mm] \to [-\infty, \infty]$ [/mm] messbar. Die Funktion f heißt [mm] \mu-integrierbar, [/mm] falls sowohl [mm] f_{+}=max\{f,0\} [/mm] also auch [mm] f_{-}=max\{-f,0\} [/mm] integrierbar sind. Man setzt [mm] \int_{E}^{}fd\mu=\int_{E}^{}f_{+}d\mu-\int_{E}^{}f_{-}d\mu
[/mm]
Die Menge aller [mm] \mu-integrierbaren [/mm] Funktionen [mm] f:E\to\IR [/mm] wird [mm] L_1(E,\mu) [/mm] genannt.
Dannach kommt nur noch eine Bemerkung:
4) Falls [mm] f\ge0, [/mm] dann ist [mm] f_{-}=0 [/mm] immer integrierbar, deshalb ist in diesem Fall diese Defintion zu Defintion (2) äquivalent. Man verifiziert auch leicht, dass für einfache Funktionen diese Definition mit Definition (1) übereinstimmt. Man sollte aber merken, dass in Defintion (2) das Integral für alle messbaren Funktionen definiert ist, und den Wert [mm] \infty [/mm] annehmen kann, anders als hier.
Ja, das wars eigentlich...
Also die Definition des Integrals für einfache Funktionen erkenn ich ja, das ist ja die Defintion (1).
Aber wo ist das Integral für nichtnegative Funktionen definiert?
Und welche Defintion ist das Integral für allgemeine messbare Funktionen?
Definiton (2) und (3) sind ja beide für messbare Funktionen definiert.
Aber irgendwie weiß ich bei Defintion (3) immer noch nicht, wie genau ich da die Integrale [mm] \int_{E}^{}f_{+}d\mu [/mm] und [mm] \int_{E}^{}f_{-}d\mu [/mm] berechnen soll ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
LG Nadine
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Huhu,
na das Posting sieht doch schonmal besser aus
> So, das ist also die Definition des Integrals für eine einfache Funktiom? Ich bilde also die Summe über Funktionswerte multipliziert mit dem Maß des jeweiligen Urbildes?
Korrekt, "mehr" ist das nicht. (Auch wenn das schon recht kompliziert werden kann)
> 2) Ich hab eine messbare Funktion gegeben. Und das Integral darüber ist dann definiert als $ [mm] \int_{E}^{}fd\mu=sup\{\int_{E}^{}\phi d\mu | \phi:E \to\IR einfach,integrierbar,\phi
> Und dann wird gesagt, dass f $ [mm] \mu-integierbar, [/mm] $ falls $ [mm] \int_{E}^{}fd\mu<\infty [/mm] $
> Was ist das denn jetzt für eine Definition? Ist das jetzt für einfache, für nichtnegative oder für allgemeine messbare Funktionen?
In deinem Satz ist schonmal ein Fehler drin. Es muss heissen: Du hast eine messbare, nichtnegative Funktion f gegeben. Dann ist das Integral darüber definiert, mal in Worten, als das Supremum aller Integrale von einfachen Funktionen, die kleinergleich f sind.
Machen wir uns das mal an einem Beispiel klar:
Sei $f:[0,1) [mm] \to [/mm] [0,1)$ gegeben durch $f(x) = x$.
Diese Funktion ist offensichtlich meßbar, nichtnegativ und NICHT einfach.
D.h. wir versuchen nun mal f durch einfache Funktionen zu approximieren (d.h. anzunähern). Dazu schauen wir uns nunmal eine einfache Funktion an, wie:
[mm] $g_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{k}{n}, [/mm] x [mm] \in \left[\bruch{k}{n},\bruch{k+1}{n}\right), [/mm] k [mm] \in \{0,1,\ldots, n-1\}$
[/mm]
Sieht nun auch kompliziert aus, darum auch hier mal vereinfacht die ersten [mm] g_n's [/mm] (mach dir Skizzen!).
[mm] $g_1(x) [/mm] = 0$
[mm] $g_2 [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & x \in [0,\bruch{1}{2}) \\ \bruch{1}{2}, & x \in [\bruch{1}{2},1) \end{cases}$
[/mm]
[mm] $g_3 [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & x \in [0,\bruch{1}{3}) \\ \bruch{1}{3}, & x \in [\bruch{1}{3},\bruch{2}{3}) \\ \bruch{2}{3}, & x\in [\bruch{2}{3},1) \end{cases}$
[/mm]
Ich denke dann wird nun klar, wie der Hase läuft.
Jedes [mm] g_n [/mm] ist nun einfach und es gilt [mm] $g_n \le [/mm] f$
D.h. wir könnten mal [mm] $\integral_{[0,1)} g_n d\mu$ [/mm] berechnen und gucken, ob wir eine Idee fürs Supremum bekommen.
Natürlich hängt das Ergebnis dann stark von der Wahl von [mm] \mu [/mm] ab, daher nehmen wir hier der Einfachheit halber mal [mm] $\mu [/mm] = [mm] \lambda$.
[/mm]
Versuchs mal, dann ist der Rest nur noch halb so schwer
MFG,
Gono.
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