Lebesgue-Integral < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:53 Di 09.11.2010 | | Autor: | LuisA44 |
Hallo,
ich höre momentan die Stochastik- Vorlesung und habe echt Probleme bestimmte Begriffe zu verstehen bzw. mir etwas darunter vorzustellen. Ich habe schon sämtliche Internetseiten und Bücher durchforstet, finde aber immer die gleichen komplizierten Definitionen. Ich hoffe jemand hat eine Erklärung für mich, die nich unbedingt mit tausend Variablen geschmückt ist ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") .
Folgende Begriffe bereiten mir Probleme:
- Borel-sigma-Algebra (Was hat es mit den Quadern auf sich??)
- Bevor wir das Lebesgue- Integral definiert haben, wurde die Zufallsvariable allgemein definiert. Was eine Zufallsvariable ist, habe ich verstanden, aber wie hängen: messbare Abbildung,Indikatorfunktionen, Treppenfunktionen, (messbare Treppenfunktion) zusammen?
- Was kann man sich genau unter messbar vorstellen
-Definition:Lebesgue-Integral(, weil ich natürlich die vorhergehenden Begriffe nicht verstanden habe)
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Liebe Grüße
LuisA44
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Di 09.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo LuisA44,
ich kann mir wirklich nicht vorstellen dass du so brauchbare Antworten bekommst. Denn auch ich würde dir gerne antworten, nur weiß ich leider nicht wo ich anfangen soll und außerdem hab ich auch nicht die Zeit hier ein komplettes "buch" zu verfassen. Ich denke mal so geht es auch den anderen Mitgliedern.
Wenn du explizite fragen hast, jederzeit gerne! Ansonsten empfehle ich dir einschlägige Literatur, meiner meinung nach sehr schön zu lesen, ist Wahrscheinlichkeitstheorie von Achim Klenke, dort werden auch alle fragen zu sigma-Algebren, integration etc. behandelt.
viele grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Di 09.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, wie mein Vorredner schon sagte, weiß man nicht, wo man genau ansetzen kann. Aber ich versuch es mal:
Borel-Sigma-Algebra: Sigma-Algebren solltest du aus der Wahrscheinlichkeitstheorie kennen. Stell dir die Borel-Sigma-Algebra einfach so vor: Du hast z.B. den [mm] \IR^n. [/mm] Dort gibt es ja offene Mengen. Und die Borel-Sigma-Algebra ist die kleinste Algebra, die alle offenen Mengen enthält. Aufgrund der Eigenschaften für Sigma-Algebren, enthält die Borel-Sigma-Algebra dann auch alle abgeschlossenen Mengen (und dazu gehören auch die (abgeschlossenen) Quader). Insbesondere sind offene und abgeschlossene Mengen auch messbar.
Für mehr Informatgionen, siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
Eine Indikatorfunktion (oder charakteristische Funktion) [mm] \chi_M: A\to [/mm] B liefert den Wert 1, falls [mm] x\in [/mm] M, 0 sonst. Eine ganz besondere Indikatorfunktion kennst du vielleicht: Die Dirichletfunktion f(x)=1, falls [mm] x\in\IQ [/mm] und 0, falls [mm] x\notin\IQ
[/mm]
Treppenfunktionen kann man sich wirklich wie Treppen vorstellen. Siehe hier.
Treppenfunktionen kann man z.B. auch mit Indikatorfunktionen beschreiben. Willst du z.B. die Treppenfunktion haben, die auf [0,1] den Wert 1 hat, auf [2,3] den Wert 2 hat und sonst 0, so kannst du dafür [mm] f(x)=\chi_{[0,1]}+2*\chi_{[2,3]} [/mm] nehmen.
Messbar heißt, dass man einer Menge ein "vernünftiges" Volumen zuordnen kann. z.B. kann man einer Strecke als Maß einfach ihre Länge zuordnen, wie man es auch vielleicht intuitiv machen würde. Einer Fläche kann man ihren Flächeninhalt zuordnen, einem Körper sein Volumen. Man kann sich ein Maß aber natürlich auch anders definieren, aber im [mm] \IR^n [/mm] ist diese Anschauung ganz gut.
Das Lebesgueintegral wurde eingeführt, um eine möglichst große Klasse an Funktionen integrieren zu können. Nehmen wir nochmal diese Funktion hier: f(x)=1, falls [mm] x\in\IQ [/mm] und 0, falls [mm] x\notin\IQ. [/mm] Mit dem Riemann-Integral kann man diese Funktion nicht integrieren, mit dem Lebesgueintegral schon (sie hat dort den Wert 0 auf jedem Intervall). Und mit dem Lebesgueintegral kann man dann auch Mengen messen via
[mm] \mu(A):=\integral_{\IR^n}^{}{\chi_A(x)dx} [/mm] (wenn wir uns noch im [mm] \IR^n [/mm] befinden und wir A einfach mal als beschränkt voraussetzen).
Die ganze Theorie zur Konstruktion des Lebesgue-Integrals liefere ich jetzt nicht, aber es wurde so gemacht, dass es viele schöne Eigenschaften hat. z.B. gilt damit immer [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{}^{\IR^n}{f_n(x) dx}=\integral_{}^{\IR^n}{\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x) dx}, [/mm] das kann man beim Riemann-Integral nicht so einfach machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 11.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5b/Stepfunction1.png){kind=small}
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