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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr Mathe-Raumler! 
Jetzt beschäftige ich mich mit den Konvergenzsätzen und ein paar Beispielen dazu. Kann ich folgendes kurz (damit ich es mir merken kann) so schreiben?
Satz von der monotonen Konvergenz (Beppo Levi):
Vor.: wachsende Folge [mm] (f_n)_{n\ge 1}, [/mm] messbar
[mm] \Rightarrow \integral_X(\lim_{n\to\infty}f_n)d\mu=\lim_{n\to\infty}\integral_X f_nd\mu
[/mm]
Lemma von Fatou:
Vor.: bel. Folge [mm] (f_n)_n, [/mm] messbar
[mm] \Rightarrow \integral_x(\liminf_{n\to\infty}f_n)d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\integral_X f_n d\mu
[/mm]
Satz von der majorisierten Konvergenz:
Vor.: f, [mm] f_n [/mm] messbar, [mm] \lim_{n\to\infty}f_n=f \mu\mbox{-f.ü.}, \exists [/mm] g messbar mit [mm] |f_n|\le [/mm] g [mm] \mu\mbox{-f.ü.} \forall [/mm] n
[mm] \Rightarrow [/mm] f und [mm] f_n [/mm] integrierbar [mm] \forall [/mm] n und
[mm] \lim_{n\to\infty}\integral_X f_n d\mu=\integral_X [/mm] f [mm] d\mu
[/mm]
Ich glaube zwar, dass ich diese einzelnen Aussagen jetzt einigermaßen verstanden habe, aber ich möchte sie doch gerne mal an Beispielen sehen. Und wir haben auch gleich einige dazu aufgeschrieben, nur weiß ich leider nicht, wozu genau welches Beispiel gehört.
(i) [mm] f_n=1_{[n,2n]}
[/mm]
Nun weiß ich, wie diese Funktionen aussehen, kann mir aber nicht vorstellen, wie sie konvergieren. Wir haben aber aufgeschrieben:
[mm] f_n\to [/mm] 0:=f
wer kann mir veranschaulichen, wie man darauf kommt? Warum konvergiert das gegen 0?
Dann gilt doch: [mm] \integral{f_n d\mu}=n [/mm] und [mm] \integral{f d\mu}=0, [/mm] oder?
Und dann ist [mm] \integral{f_n d\mu}\not\to\integral{f d\mu}
[/mm]
aber wofür ist das jetzt ein Beispiel?
das zweite Beispiel ist sehr ähnlich - vielleicht kann ich es alleine, wenn ich dieses hier verstanden habe. 
(iii) [mm] f_n(x)=sin(x)^n [/mm] auf [mm] [0,\pi]=\Omega
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=\bruch{\pi}{2}\\ 0, & \mbox{sonst }\end{cases}
[/mm]
es gilt also [mm] f_n(x)\tof(x) [/mm] - das kann ich mir noch vorstellen, wenn ich mal ein paar Funktionen zeichne...
Nun gilt [mm] |f_n|\le [/mm] 1, also haben wir eine Majorante, also:
[mm] \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\integral_{0}^{\pi}{sin(x)^n dx}=\integral_{0}^{\pi}{f(x)dx}=0
[/mm]
vielleicht kann mir hier jemand kurz sagen, warum [mm] \integral_{0}^{\pi}{f(x)dx}=0 [/mm] ist - ich glaube, den Rest davon habe ich verstanden.
Und dann habe ich noch zwei kleine Fragen:
Wenn [mm] f_n \mu\mbox{-f.ü.} [/mm] gegen f konvergiert und [mm] |f_n|\le [/mm] g [mm] \mu\mbox{-f.ü.} [/mm] gilt, warum folge dann [mm] |f|\le [/mm] g [mm] \mu\mbox{-f.ü.}?
[/mm]
Wenn es wirklich überall gelten würde, wäre es mir klar - aber so? Gilt das auch nach irgendeinen Satz oder einem Lemma oder so?
und noch so was ähnliches:
warum folgt aus [mm] \lim_{n\to\infty}\integral|f-f_n|d\mu=0
[/mm]
[mm] \lim_{n\to\infty}{f_n d\mu}=\integral{f d\mu} [/mm] ?
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo Bastiane,
Die Sätze sind soweit ich sehe richtig,
Nun zu deiner Folge in (i)
Zunächst mal (punktweise) Konvergenz von (i) gegen 0 folgt einfach aus Archimedischem Axiom.
Für alle x [mm] \in [/mm] R existiert m [mm] \in [/mm] N mit m>x, nun nehme man dieses m für unsere Konvergenz her, und sehe, dass für alle n>m gilt [mm] f_n(x)=0, [/mm] d.h. konvergiert. Und nun würde wenn wir noch den Rest der Vorraussetzungen erfüllen könnten der Satz von der majorisierten Konvergenz gelten, was er aber, wie du geschrieben hast nicht tut (d.h. Gegenbeispiel gegen einen verschärften Satz der majorisierten Konvergenz der keine Majorante mehr braucht)
nun zu (ii) Der Grund, warum das Integral 0 ist, dass der einzelner Punkt [mm] {\pi/2} [/mm] eine [mm] \mu [/mm] Nullmenge ist, und Integrale von Funktionen die bis auf solche überall verschwinden sind nunmal 0.
Zum Rest, musst du Nullmengen, deren Vereinigung, Schnitt ... noch mal anschauen, dann sollte das klarer werden (bei mir ist diese ganze Maßtheorie ein Jahr her, deshalb hab ich das grad leider nicht alles parat)
viele Grüße
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:14 Fr 01.04.2005 | | Autor: | Guerk |
Hallo!
zum Beppo Levi:
du brauchst noch eine Bedingung, damit deine Folge [mm] $f_n$ [/mm] überhaupt konvergiert. Sonst macht diese Aussage nicht so viel Sinn.
Ich würd es so formulieren:
Satz von Beppo Levi über monotone Konvergenz
Voraussetzungen: monotone Folge von integrierbaren Fkt. mit beschränkter Integralfolge [mm] ($\exists A\in\IR [/mm] s.d. [mm] \int f_id\phi\leq [/mm] A [mm] \forall [/mm] i$)
Dann gibt es integrierbare Funktion $f$ und [mm] $\int fd\phi=\lim_{i\rightarrow\infty}f_id\phi$.
[/mm]
Impliziert bei dir messbar, dass das Integral endlich ist? Dann sind Lemma von Fatou und der Satz über majorisierte Konvergenz ok.
Zum ersten Beispiel:
Ich nenn die Folge mal [mm] a_n. [/mm] Du fragst dich, warum sie gegen die Null-Funktion konvergiert. Wir reden hier über punktweise Konvergenz. Das heißt, nimm dir doch mal irgendeine Stelle. Irgendwann "läuft" dein Intervall an dieser Stelle vorbei und alle weiteren Funktionen sind dort 0.
Das heißt, [mm] $\forall x\in \IR \forall\epsilon>0 \exists N\in\N \forall n\geq [/mm] N [mm] a_n(x)=0$. [/mm] Das ist Konvergenz gegen die Null-Funktion.
Das zeigt zum Beispiel, dass man beim Beppo Levi die Monotonie braucht.
Zum dritten Beispiel: Einzelne Punkte sind [mm] $\mu_1$-Nullmengen [/mm] und die abzählbare Vereinigung von Nullmengen ist auch eine Nullmenge. Das heißt, die Funktion $f(x)$ ist außerhalb einer Nullmenge gleich der Null-Funktion.
Zu deiner ersten Frage:
[mm] $f_n$ [/mm] konvergiert f.ü. gegen f, das heißt, es gibt eine Nullmenge $N$, außerhalb der [mm] $f_n$ [/mm] wirklich gegen $f$ konvergiert.
Außerdem ist [mm] $|f_n|\leq [/mm] g$ f.ü. für alle $n$, das heißt, es gibt zu jedem $n$ eine weitere Nullmenge [mm] $M_n$, [/mm] außerhalb der die Ungleichung tatsächlich gilt.
Vereinige alle diese Nullmengen! Das ist eine auch eine Nullmenge und außerhalb dieser gilt [mm] $|f|\leq [/mm] g$ .
Zu deiner zweiten Frage:
Ich setze voraus, dass $f$ und alle [mm] $f_n$ [/mm] integrierbar sind.
Aus der Bedingung folgt, dass [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty} |f-f_n|=0$ [/mm] f.ü. ist. (ist dir das klar?)
Es gilt allgemein: f integrierbar, [mm] $f\geq [/mm] 0$ f.ü. und [mm] $\int fd\phi=0\Rightarrow [/mm] f=0$ f.ü. (Beweis: Betrachte Folge [mm] $(if)_{i\in \IN}$ [/mm] und wende Beppo Levi an).
Also unterscheidet sich die Funktion [mm] $f-f_n$ [/mm] von [mm] $|f-f_n|$ [/mm] nur auf einer Nullmenge!
Damit solltest du die Behauptung rauskriegen.
Grüße,
Olaf
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