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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Lebesgue-Integrierbarkeit
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Lebesgue-Integrierbarkeit: Probleme bei Beschränktheit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:43 Fr 18.12.2009
Autor: derdickeduke

Aufgabe
Zeigen Sie, dass [mm] \bruch{\log(x)}{x^2-1} [/mm] L-integrierbar auf [mm] \IR^+ [/mm] ist

Hallo Leute!
Dafür sind ja im wesentlichen zwei Punkte zu zeigen, oder?
1. Stetigkeit: Die Stetigkeit steht nur in x=1 zur Debatte. Ansonsten werden ja einfach zwei stetige Funktionen miteinander multipliziert. Das muss ja stetig sein.
Untersucht man den Grenzwert in t=1
a) Rechtsseitig:
[mm] \limes_{t\rightarrow1}\bruch{\log(x)}{x^2-1}\overbrace{=}^{L'Hospital} [/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow1}\bruch{1/x}{2x}=\limes_{t\rightarrow1}\bruch{1}{2x^2}=1/2 [/mm]
b) Linksseitiger Grenzwert identisch
[mm] \Rightarrow [/mm] Stetig
2. Beschränktheit
Hier fällt mir jetzt keine vernünftige L-integrierbare Funktion ein, mit [mm] f(x)\ge|\bruch{\log(x)}{x^2-1}| [/mm]
Hat da jemand eine Idee? Und stimmt 1.?

        
Bezug
Lebesgue-Integrierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:14 Fr 18.12.2009
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass [mm]\bruch{\log(x)}{x^2-1}[/mm] L-integrierbar auf
> [mm]\IR^+[/mm] ist
>  Hallo Leute!
>  Dafür sind ja im wesentlichen zwei Punkte zu zeigen,
> oder?
>  1. Stetigkeit: Die Stetigkeit steht nur in x=1 zur
> Debatte. Ansonsten werden ja einfach zwei stetige
> Funktionen miteinander multipliziert. Das muss ja stetig
> sein.
>  Untersucht man den Grenzwert in t=1
>  a) Rechtsseitig:
>  
> [mm]\limes_{t\rightarrow1}\bruch{\log(x)}{x^2-1}\overbrace{=}^{L'Hospital}[/mm]
>  
> [mm]\limes_{t\rightarrow1}\bruch{1/x}{2x}=\limes_{t\rightarrow1}\bruch{1}{2x^2}=1/2[/mm]
>  b) Linksseitiger Grenzwert identisch
>  [mm]\Rightarrow[/mm] Stetig
>  2. Beschränktheit
>  Hier fällt mir jetzt keine vernünftige L-integrierbare
> Funktion ein, mit [mm]f(x)\ge|\bruch{\log(x)}{x^2-1}|[/mm]
>  Hat da jemand eine Idee?




> Und stimmt 1.?

Ja, das stimmt. Ist $f(x) [mm] :=\bruch{\log(x)}{x^2-1} [/mm] $ und $f(1):= 1/2$, so ist f auf $(0, [mm] \infty)$ [/mm]  stetig.

Aber beschränkt ist f auf $(0, [mm] \infty)$ [/mm]  nicht: [mm] $\limes_{x\rightarrow 0 +}f(x) [/mm] = [mm] \infty$ [/mm]  !!

Versuche mal die Aufgabe mit folgendem Satz zu lösen (falls Ihr diesen Satz hattet):



SATZ:  f ist auf  $(0, [mm] \infty)$ [/mm]  L-integrierbar [mm] \gdw [/mm]  das uneigentliche Riemannintegral [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] ist absolut konvergent.




Es ist [mm] $f(x)=\bruch{\log(x)}{x^2-1} \ge [/mm] 0 $ für $x [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty)$, [/mm] also mußt Du zeigen:

        das uneigentliche Riemannintegral [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{\log(x)}{x^2-1} dx} [/mm] ist konvergent.


FRED





Bezug
                
Bezug
Lebesgue-Integrierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:33 Fr 18.12.2009
Autor: derdickeduke

Danke für deine Antwort Fred!
Ich weiß, dass die Funktion nicht beschränkt ist, aber gäbe es eine Majorante, die L-integrierbar ist, dann wäre f doch auch L-integrierbar, oder?
Denn Dummerweise ist das Riemann-Integral von [mm] \bruch{log(x)}{x^2-1} [/mm] nicht ganz so einfach zu berechnen. Mathematica spuckt unangenehme Dinge aus, die wir in der Volesung noch nicht hatten...

Bezug
                        
Bezug
Lebesgue-Integrierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:53 Fr 18.12.2009
Autor: fred97


> Danke für deine Antwort Fred!
>  Ich weiß, dass die Funktion nicht beschränkt ist, aber
> gäbe es eine Majorante, die L-integrierbar ist, dann wäre
> f doch auch L-integrierbar, oder?
>  Denn Dummerweise ist das Riemann-Integral von
> [mm]\bruch{log(x)}{x^2-1}[/mm] nicht ganz so einfach zu berechnen.


Du sollst es auch gar nicht berechnen !  nur die Konvergenz sollst Du zeigen !

Spalte es auf: [mm] \integral_{0}^{\infty}= \integral_{0}^{1}+\integral_{1}^{\infty} [/mm]

Für x [mm] \ge [/mm] 12 ist [mm] $e^{\wurzel{x}} \ge [/mm] x$, also $log(x) [mm] \le \wurzel{x}$ [/mm]

Für x [mm] \ge [/mm] 2 ist [mm] $x^2-1 \ge \bruch{1}{2}x^2$ [/mm]

Somit ist

          [mm] $\bruch{log(x)}{x^2-1} \le \bruch{2}{x^{3/2}}$ [/mm]  für x [mm] \ge [/mm] 12

Das Integral  [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{2}{x^{3/2}}dx} [/mm]  ist konvergent, also ist nach dem Majorantenkriterium auch das Integral [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{log(x)}{x^2-1} dx} [/mm] konvergent

Jetzt versuche Dich mal in ähnlicher Weise an [mm] \integral_{0}^{1} [/mm]

FRED

            



> Mathematica spuckt unangenehme Dinge aus, die wir in der
> Volesung noch nicht hatten...


Bezug
                                
Bezug
Lebesgue-Integrierbarkeit: Erklärungsnöte
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:39 Fr 18.12.2009
Autor: derdickeduke

Hallo und ein zweites Mal danke für deinen Antwort Fred!
Der Grundgedanke ist mir klar, aber was soll folgendes?

> Spalte es auf: [mm]\integral_{0}^{\infty}= \integral_{0}^{1}+\integral_{1}^{\infty}[/mm]
>  
> Für x [mm]\ge[/mm] 12 ist [mm]e^{\wurzel{x}} \ge x[/mm], also [mm]log(x) \le \wurzel{x}[/mm]
>  
> Für x [mm]\ge[/mm] 2 ist [mm]x^2-1 \ge \bruch{1}{2}x^2[/mm]

Ich dachte das Integral reicht von 1 bis [mm] \infty. [/mm] Wieso genüdt es da, dass die beiden Funktionen, die du einsetzt erst ab [mm] x\ge2 [/mm] bzw. [mm] x\ge12 [/mm] Majoranten sind?

Bezug
                                        
Bezug
Lebesgue-Integrierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Fr 18.12.2009
Autor: Niladhoc

Hallo,

Da man im Bereich [mm] 1\le x\le [/mm] 12 eine beschränkte Funktion über einen endlichen Bereich integriert (-> Rechteckmajorante) ist das Integral an der Stelle ebenfalls endlich, daher eine zu integrierende Majorante für [mm] x\ge [/mm] 12 zulässig.

lg

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