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Lebesgue-Maß: aufschreiben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:55 Do 02.11.2017
Autor: ser

Aufgabe
[mm] \lambda [/mm] : [mm] B(\IR^n) \to [0,\infty] [/mm] Lebesgue-Maß
1. Sei B [mm] \subseteq \IR^n [/mm] eine nichtleere, offene Menge. zz.: [mm] \lambda(B) [/mm] > 0
2. zz.: [mm] \lambda (\IR^n) [/mm] = [mm] \infty [/mm]

1.jede offene Menge enthält eine offene Basismenge
Kugeln mit unendlicher Norm sind Quader > 0
Da diese offene Basismenge Teilmenge von B ist,
muss man zeigen, dass B messbar ist, da dann auch L(B) >= L(Kugel, Quader) > 0 folgt.
Alle offenen Mengen sind Borel-mengen, also Lebesgue-messbar.

2.Zerlege [mm] R^n [/mm] in die abzählbare Vereinigung von Einheitskästchen

Ich brauche Hilfe beim aufschreiben, hoffe das ich es verstanden habe.
Danke

        
Bezug
Lebesgue-Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:36 Do 02.11.2017
Autor: fred97


> [mm]\lambda[/mm] : [mm]B(\IR^n) \to [0,\infty][/mm] Lebesgue-Maß
>  1. Sei B [mm]\subseteq \IR^n[/mm] eine nichtleere, offene Menge.
> zz.: [mm]\lambda(B)[/mm] > 0
>  2. zz.: [mm]\lambda (\IR^n)[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>  1.jede offene Menge enthält eine offene Basismenge

Was ist bei Dir eine Basismenge ?


> Kugeln mit unendlicher Norm sind Quader > 0

Hä, was soll das denn bedeuten ?


>  Da diese offene Basismenge Teilmenge von B ist,
> muss man zeigen, dass B messbar ist, da dann auch L(B) >=
> L(Kugel, Quader) > 0 folgt.
>  Alle offenen Mengen sind Borel-mengen, also
> Lebesgue-messbar.

Wenn B offen ist, ist B eine Borelmnge. Ist B nicht leer, so nimm ein [mm] x_0 \in [/mm] B her. Wegen der Offenheit von B ex. ein Quader Q mit [mm] x_0 \in [/mm] Q [mm] \subseteq [/mm] B.

Dann: 0 < [mm] \lambda(Q) \le \lambda(B). [/mm]


>  
> 2.Zerlege [mm]R^n[/mm] in die abzählbare Vereinigung von
> Einheitskästchen

Ich nehme keine Einheitskästchen sondern: für k [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] I_k:=[-k,k]^n. [/mm]

Dann: [mm] I_1 \subset I_2 \subset I_3 \subset [/mm] .... und [mm] \IR^n= \bigcup_{k \ge 1}I_k. [/mm]

Es folgt [mm] \lambda( \IR^n)= \lim_{k \to \infty}\lambda(I_k)= \lim_{k \to \infty}(2k)^n=\infty. [/mm]


>  
> Ich brauche Hilfe beim aufschreiben, hoffe das ich es
> verstanden habe.
>  Danke


Bezug
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