Lebesgue-Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Di 09.11.2010 | | Autor: | cmueller |
| Aufgabe | Wahr oder falsch?
1. Es sei A [mm] \subset \IR [/mm] Lebesgue-messbar. Wenn [mm] \lambda [/mm] (A) = 0, dann gilt das auch für den Abschluss, also [mm] \lambda (\overline{A}) [/mm] = 0.
2. Es sei [mm] \lambda^{\*} [/mm] das äußere Lebesgue-Maß und A [mm] \subset \IR. [/mm] Wenn [mm] \lambda^{\*}(A)=0, [/mm] dann ist A Lebesgue-messbar. |
Hallo zusammen,
wir fangen gerade mit Lebesgue-Messbarkeit etc. an, daher bin ich noch etwas unsicher.
Ich würde nach momentanem Stand behaupten, dass beide Aussagen wahr sind.
Aussage 2: wahr, denn:
Es sind ja zum beispiel die rationalen zahlen [mm] \IQ [/mm] und alle ihre Teilmengen vom maß 0, aber Lebesgue-messbar.
Ich habe außerdem gelesen, dass alle abzählbaren Mengen und ihre Teilmengen Nullmengen sind. (stimmt das?)
Demnach finde ich sinnvoll, dass auch Aussage 1 wahr ist, hier geht es ja auch um Nullmengen.
Allerdings bin ich hier nicht sicher, weil ich mit dem Begriff "Abschluss" nicht ganz zurechtkomme.
Kann mit jemand erklären, was damit gemeint ist?!
Liege ich mit meiner Theorie für Aussage 2 richtig? Oder habe ich ein Problem weil es um das äußere Maß geht?
Ansonsten habe ich das Lebesgue-Maß so verstanden, dass alle explizit darstellbaren ...(darstellbaren was? Mengen?) Lebesgue-messbar sind, das heißt alle offenen mengen.
Ist das quatsch, oder verstehe ich das richtig?
Danke euch, für Tipps, Hilfestellungen und Erklärungen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Di 09.11.2010 | | Autor: | moudi |
> Wahr oder falsch?
> 1. Es sei A [mm]\subset \IR[/mm] Lebesgue-messbar. Wenn [mm]\lambda[/mm] (A)
> = 0, dann gilt das auch für den Abschluss, also [mm]\lambda (\overline{A})[/mm]
> = 0.
>
> 2. Es sei [mm]\lambda^{\*}[/mm] das äußere Lebesgue-Maß und A
> [mm]\subset \IR.[/mm] Wenn [mm]\lambda^{\*}(A)=0,[/mm] dann ist A
> Lebesgue-messbar.
> Hallo zusammen,
>
> wir fangen gerade mit Lebesgue-Messbarkeit etc. an, daher
> bin ich noch etwas unsicher.
>
> Ich würde nach momentanem Stand behaupten, dass beide
> Aussagen wahr sind.
Nein. a) ist falsch.
>
> Aussage 2: wahr, denn:
> Es sind ja zum beispiel die rationalen zahlen [mm]\IQ[/mm] und
> alle ihre Teilmengen vom maß 0, aber Lebesgue-messbar.
>
> Ich habe außerdem gelesen, dass alle abzählbaren Mengen
> und ihre Teilmengen Nullmengen sind. (stimmt das?)
Ja, das stimmt.
>
> Demnach finde ich sinnvoll, dass auch Aussage 1 wahr ist,
> hier geht es ja auch um Nullmengen.
Die Menge [mm] $\mathbb [/mm] Q$ der rationale Zahlen ist dicht in [mm] $\mathbb [/mm] R$, was ist der Abschluss dieser Menge [mm] $\bar{\mathbb Q}$? [/mm]
> Allerdings bin ich hier nicht sicher, weil ich mit dem
> Begriff "Abschluss" nicht ganz zurechtkomme.
> Kann mit jemand erklären, was damit gemeint ist?!
Eine Menge A ist abgeschlossen, wenn das Komplement [mm] $\mathbb R\smallsetminus [/mm] A$ offen ist. Der Abschluss einer Menge A ist die "kleinste" abgeschlossene Menge, die A enthaelt. Weil der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossenen Mengen abgeschlossen sind kann man [mm] $\bar [/mm] A$ als Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die A enthalten, definieren. Eine andere Charakterisierung ist, dass [mm] $\bar [/mm] A$ die Menge A zusammen mit allen ihren Haeufungspunkten ist.
>
> Liege ich mit meiner Theorie für Aussage 2 richtig? Oder
> habe ich ein Problem weil es um das äußere Maß geht?
>
> Ansonsten habe ich das Lebesgue-Maß so verstanden, dass
> alle explizit darstellbaren ...(darstellbaren was? Mengen?)
> Lebesgue-messbar sind, das heißt alle offenen mengen.
> Ist das quatsch, oder verstehe ich das richtig?
>
> Danke euch, für Tipps, Hilfestellungen und Erklärungen.
Es gibt verschiedene Herleitungen fuer das Mass. Eine davon ist, dass eine Menge messbar ist, wenn ihr inneres und aeusseres Mass gleich sind. Wenn eine Menge das aeussere Mass 0 hat, so muss ihr inneres Mass auch 0 sein, weil dass innere Mass kleiner gleich dem aesseren Mass und nicht negativ ist.
Eine alternative Definition besagt, dass eine Menge A messbar ist, wenn fuer jede Menge Q gilt: [mm] $\mu^{\ast}(Q)\geq\mu^{\ast}(Q\cap A)+\mu^{\ast}(Q\cap(\mathbb R\smallsetminus [/mm] A))$.
Diese Eigenschaft ist aber fuer Mengen mit auesserem Mass 0 klarerweise erfuellt, da das aeussere Mass monoton und nicht negativ ist (die rechte Seite der Ungleichung ist fuer alle Q dann immer 0).
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Di 09.11.2010 | | Autor: | cmueller |
Hallo,
vielen dank für die Erklärungen :)
zu Aussage 1:
Nach dem, was du mir gerade unter "Abschluss" erklärt hast, würde ich sagen:
[mm] \IQ [/mm] ist dicht in [mm] \IR [/mm] und [mm] \IQ \subset \IR, [/mm] das heißt ja, dass der Abschluss von [mm] \IQ [/mm] ganz [mm] \IR [/mm] ist.
so dann stimmt zwar [mm] $\lambda [/mm] (A) = 0$, für A = [mm] \IQ
[/mm]
aber [mm] \overline{A} [/mm] = [mm] \IR [/mm] und [mm] \lambda (\IR) \not= [/mm] 0 , denn [mm] \IR [/mm] ist [mm] \sigma-endlich [/mm] (und [mm] \lamba [/mm] bezeichnet doch das Lebesgue-Borel-Maß oder? und [mm] \lambda\* [/mm] das äußere Maß?), d.h. [mm] \IR [/mm] kann als Vereinigung abzählbar vieler endlicher Intervall dargestellt werden und ist somit keine Nullmenge.
und damit ein gegenbeispiel... ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Di 09.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> vielen dank für die Erklärungen :)
>
> zu Aussage 1:
> Nach dem, was du mir gerade unter "Abschluss" erklärt
> hast, würde ich sagen:
> [mm]\IQ[/mm] ist dicht in [mm]\IR[/mm] und [mm]\IQ \subset \IR,[/mm] das heißt ja,
> dass der Abschluss von [mm]\IQ[/mm] ganz [mm]\IR[/mm] ist.
> so dann stimmt zwar [mm]\lambda (A) = 0[/mm], für A = [mm]\IQ[/mm]
> aber [mm]\overline{A}[/mm] = [mm]\IR[/mm] und [mm]\lambda (\IR) \not=[/mm] 0 , denn
> [mm]\IR[/mm] ist [mm]\sigma-endlich[/mm] (und [mm]\lamba[/mm] bezeichnet doch das
> Lebesgue-Borel-Maß oder? und [mm]\lambda\*[/mm] das äußere
> Maß?), d.h. [mm]\IR[/mm] kann als Vereinigung abzählbar vieler
> endlicher Intervall dargestellt werden und ist somit keine
> Nullmenge.
> und damit ein gegenbeispiel... ?!
Ja, aber was ist denn [mm] \lambda(\IR) [/mm] ? ist [mm] \lambda(\IR)=4711 [/mm] oder [mm] \lambda(\IR)= [/mm] 12 ??
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Di 09.11.2010 | | Autor: | cmueller |
> > Hallo,
> >
> > vielen dank für die Erklärungen :)
> >
> > zu Aussage 1:
> > Nach dem, was du mir gerade unter "Abschluss" erklärt
> > hast, würde ich sagen:
> > [mm]\IQ[/mm] ist dicht in [mm]\IR[/mm] und [mm]\IQ \subset \IR,[/mm] das heißt
> ja,
> > dass der Abschluss von [mm]\IQ[/mm] ganz [mm]\IR[/mm] ist.
> > so dann stimmt zwar [mm]\lambda (A) = 0[/mm], für A = [mm]\IQ[/mm]
> > aber [mm]\overline{A}[/mm] = [mm]\IR[/mm] und [mm]\lambda (\IR) \not=[/mm] 0 ,
> denn
> > [mm]\IR[/mm] ist [mm]\sigma-endlich[/mm] (und [mm]\lamba[/mm] bezeichnet doch das
> > Lebesgue-Borel-Maß oder? und [mm]\lambda\*[/mm] das äußere
> > Maß?), d.h. [mm]\IR[/mm] kann als Vereinigung abzählbar vieler
> > endlicher Intervall dargestellt werden und ist somit keine
> > Nullmenge.
> > und damit ein gegenbeispiel... ?!
>
> Ja, aber was ist denn [mm]\lambda(\IR)[/mm] ? ist [mm]\lambda(\IR)=4711[/mm]
> oder [mm]\lambda(\IR)=[/mm] 12 ??
>
> FRED
> >
> >
>
Interessante Frage :P
Ich weiß es leider nicht :( wie berechne ich das?
ich glaube zu wissen, wie ich zeige, dass etwas ein maßist...aber das genau auszurechnen...hilfe bitte..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Di 09.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Setze [mm] $I_k:= [/mm] [k,k+1) $ für k [mm] \in \IZ
[/mm]
Berechne [mm] \lambda(I_k). [/mm] Das solltest Du hinkriegen.
Mache Dir klar, dass [mm] $\IR= \bigcup_{k \in \IZ}^{\infty }I_$ [/mm] ist (disjunkte Vereinigung !)
Jetzt nutze die [mm] \sigma [/mm] - Additivität des Maßes.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Mi 10.11.2010 | | Autor: | cmueller |
> Setze [mm]I_k:= [k,k+1)[/mm] für k [mm]\in \IZ[/mm]
>
> Berechne [mm]\lambda(I_k).[/mm] Das solltest Du hinkriegen.
Im Prinzip hast du da recht^^ ich muss aber noch eine ganz dumme frage stellen.
in unsrem Skript wird immer wieder mal [mm] \lambda [/mm] und mal [mm] \lamba\* [/mm] geschrieben, für mich wird aber nirgendwo ersichtlich (oder cih kapiers einfach nich) wo der unterschied gemacht wird.
Wir haben zunächste das äußere Lebesgue-Maß definiert [mm] \lamda\*
[/mm]
mit
Für [mm] \IR^{n} [/mm] haben wir mit Hilfe des Volumens [mm] \nu [/mm] : [mm] \mathcal{B} \to [/mm] [0;1), und dabei ist [mm] \mathcal{B} [/mm] die Menge aller
Blöcke, das äußere Maß [mm] \lambda\*: \mathcal{P} (\IR^{n}) \to [/mm] [0;1] definiert durch
[mm] \lambda\*(A)=inf \{\summe_{i\in \IN}\nu(B_{i});B_{i} \in \mathcal{B} und A \subset \bigcup_{i \in \IN}B_{i}\}
[/mm]
So und darunter wird gesagt:
Sei X = [mm] \IR^{n}. [/mm] Dsa vom äußeren Lebesgue-Maß induzierte Maß nennt man das Lebesgue-Maß. Man schreibt [mm] (\IR^{n}, \mathcal{L}, \lambda).
[/mm]
So und bei Wiki finde ich aber außerdem
Das Borel-Lebesgue-Maß auf der [mm] Borel-\sigma-Algebra \mathcal{B}(\IR^{n}) [/mm] ist das eindeutige Maß [mm] \lambda [/mm] mit der Eigenschaft
[mm] \lambda ([a_{1},b_{1}] [/mm] x ... [mm] x[a_{n}, b_{n}]) [/mm] = [mm] (b_{1}-a_{1})* [/mm] ... [mm] *(b_{n}-a_{n})
[/mm]
...ich weiß einfach nich, was ich jez benutzen soll...das zweite oder was?
sorry :/
>
> Mache Dir klar, dass [mm]\IR= \bigcup_{k \in \IZ}^{\infty }I_[/mm]
> ist (disjunkte Vereinigung !)
>
> Jetzt nutze die [mm]\sigma[/mm] - Additivität des Maßes.
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Mi 10.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Die Borel- [mm] \sigma [/mm] -Algebra [mm] $\mathcal{B}(\IR^{n}) [/mm] $ ist Dir bekannt.
Auf ihr stimmen das Lebesguemaß und das Borel-Lebesgue-Maß überein
Also: was ist [mm] \lambda(I_k) [/mm] = ?
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mi 10.11.2010 | | Autor: | cmueller |
> Die Borel- [mm]\sigma[/mm] -Algebra [mm]\mathcal{B}(\IR^{n})[/mm] ist Dir
> bekannt.
>
> Auf ihr stimmen das Lebesguemaß und das
> Borel-Lebesgue-Maß überein
>
> Also: was ist [mm]\lambda(I_k)[/mm] = ?
[mm] \lambda (I_{k})=\lambda (I_{k} \cap I_{k+1}) [/mm] + [mm] \lambda (I_{k+1}\backslash I_{k}) [/mm] = 0 + [mm] \lamda (I_{k+1})...
[/mm]
Damit weiß ich doch nur, dass die Blöcke alle gleich groß/lang sind...
tut mir leid ich steh echt aufm schlauch...
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Mi 10.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Ist [a,b) ein Intervall in [mm] \IR [/mm] , so ist doch
[mm] \lambda([a,b))= [/mm] b-a !!!!!!!
FRED
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