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Lebesgue-Maß, Borell-Cantelli: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Date: 21:38 So 10/01/2016
Author: impliziteFunktion

Aufgabe
Sei [mm] $\epsilon>0$ [/mm] fest. Sei $A$ die Menge aller Zahlen [mm] $x\in[0,1]$ [/mm] mit der folgenden Eigenschaft:

Es gibt unendlich viele rationale Zahlen [mm] $\frac{m}{n}$ [/mm] (mit [mm] $m,n\in\mathbb{N}$) [/mm] so, dass

[mm] |x-\frac{m}{n}|\leq\frac{1}{n^{2+\epsilon}}. [/mm]

Bestimmen Sie das Lebesgue-Maß von $A$.


Hallo,

ich möchte diese Aufgabe lösen.
Ich möchte das Lemma von Borell-Cantelli anwenden und vermute, dass P(A)=1. Um dies nachzuweisen benötige ich eine Folge [mm] $A_1, [/mm] ..., [mm] A_k$ [/mm] von unabhängigen Ereignissen mit

[mm] $\sum_{i=1}^\infty P(A_i)=\infty$ [/mm]

Und [mm] $\lim [/mm] sup [mm] A_i=A$, [/mm] denn dann gilt

[mm] $P(\lim [/mm] sup [mm] A_i)=P(A)=1$ [/mm]

Nur leider weiß ich nicht so recht, wie ich eine solche Folge von Ereignissen angeben kann.

Edit:

Ich muss ja [mm] $A_i$ [/mm] finden so, dass ich $A$ darstellen kann als

[mm] $A=\bigcap_{j=1}^\infty\bigcup_{i=j}^\infty A_i$ [/mm]

Zu dieser Menge hätte ich eine Frage, weil ich mir nicht sicher bin, wie man es ließt.

Also wenn [mm] $x\in [/mm] A$ dann muss es mindestens ein [mm] A_i [/mm] geben so, dass [mm] x\in A_i [/mm] liegt. Denn dann liegt [mm] $x\in\bigcup_{i=j}^\infty A_i$. [/mm]
Über was für Mengen wird nach der Vereinigung der Schnitt gebildet?
Denn dann muss in jeder Menge später dieses x liegen.
Aber welche Mengen sind das? Wenn ich zu erst [mm] $\bigcup_{i=j}^\infty A_i$ [/mm]
bestimme, dann ist dies ja nur "eine" Menge?

Was verstehe ich daran falsch?

Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
Lebesgue-Maß, Borell-Cantelli: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 22:20 Di 12/01/2016
Author: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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