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Lebesgue-Maß, dicht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:21 Sa 24.10.2015
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
Bezeichne [mm] $\mu$ [/mm] das Lebesgue-Maß auf [mm] $\mathbb{R}$. [/mm]
Zeigen Sie:

a) Es gibt eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] deren Punkte in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] dicht sind.

b) Für jedes [mm] $\epsilon>0$ [/mm] existiert eine offene, dichte Teilmenge $U$ von [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $\mu(U)<\epsilon$ [/mm]

Hallo,

ich bearbeite gerade diese Aufgabe und habe erstmal nur eine Frage zu a).

Ich weiß, dass [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] dicht in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] liegt.
Ich denke ich kann als Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] nun einfach die Folge der rationalen Zahlen wählen. Also etwa so, wie man sie mit dem Diagonalverfahren von Cantor abzählen würde:

[mm] $(\tfrac{1}{1},\tfrac{1}{2},\tfrac{2}{1},\tfrac{3}{1},\tfrac{2}{2},\tfrac{1}{3},\dotso)$ [/mm]

Es geht im Aufgabenteil a) ja erstmal auch nur um die Existenz.
Wenn ich weiß, dass [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] dicht in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] ist und [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] abzählbar. Dann weiß ich ja auch, dass es eine Folge

[mm] $x:\mathbb{N}\to\mathbb{Q}$ [/mm] gibt, ohne diese explizit angeben zu müssen.

Ist das so korrekt?

Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
Lebesgue-Maß, dicht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:58 So 25.10.2015
Autor: tobit09

Hallo impliziteFunktion,


> ich bearbeite gerade diese Aufgabe und habe erstmal nur
> eine Frage zu a).
>  
> Ich weiß, dass [mm]\mathbb{Q}[/mm] dicht in [mm]\mathbb{R}[/mm] liegt.
>  Ich denke ich kann als Folge [mm](x_n)_n[/mm] nun einfach die Folge
> der rationalen Zahlen wählen. Also etwa so, wie man sie
> mit dem Diagonalverfahren von Cantor abzählen würde:
>  
> [mm](\tfrac{1}{1},\tfrac{1}{2},\tfrac{2}{1},\tfrac{3}{1},\tfrac{2}{2},\tfrac{1}{3},\dotso)[/mm]
>  
> Es geht im Aufgabenteil a) ja erstmal auch nur um die
> Existenz.
>  Wenn ich weiß, dass [mm]\mathbb{Q}[/mm] dicht in [mm]\mathbb{R}[/mm] ist
> und [mm]\mathbb{Q}[/mm] abzählbar. Dann weiß ich ja

(unter Beachtung von [mm] $\IQ\not=\emptyset$) [/mm]

> auch, dass es
> eine

surjektive

> Folge
>  
> [mm]x:\mathbb{N}\to\mathbb{Q}[/mm] gibt, ohne diese explizit angeben
> zu müssen.
>  
> Ist das so korrekt?

Ja, sehr schön! [ok]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Lebesgue-Maß, dicht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 So 25.10.2015
Autor: impliziteFunktion

Gut.

Dann nun zum Aufgabenteil b), hier weiß ich noch nicht so recht wie es funktioniert.

Zeigen möchte ich, dass zu jedem [mm] $\epsilon>0$ [/mm] eine offene, dichte Teilmenge $U$ von [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] existiert mit [mm] $\mu(U)<\epsilon$. [/mm]

Angefangen habe ich so:

Ich möchte die [mm] $\sigma$-additivität [/mm] des Lebesgue-Maßes nutzen. Also $U$ als abzählbare Vereinigung von offenen Mengen darstellen (womit $U$ offen ist).
Die rationalen Zahlen sind abzählbar.

Ich wähle eine surjektive Folge [mm] $x:\mathbb{N}\to\mathbb{Q}$. [/mm]
Nun will ich jeweils um die Folgeglieder eine [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] legen, welche ich beliebig klein mache.

[mm] $\left(x_n-\epsilon,x_n+\epsilon\right)$ [/mm] wobei [mm] $x_n\in\mathbb{Q}$ [/mm] natürlich das n-te Folgeglied meiner obigen Folge ist.

Dann gilt [mm] $\bigcup_{n=0}^{\infty} \left(x_n-\epsilon,x_n+\epsilon\right)=\mathbb{R}$ [/mm]

Wähle ich nun [mm] $U=\bigcup_{n=0}^\infty \left(x_n-\epsilon,x_n+\epsilon\right)$ [/mm] und lasse [mm] \epsilon\to [/mm] 0 streben, habe ich nur noch punkte, welche ich jeweils vereinige.

Zeigen müsste ich dann noch, dass das Maß dieser Einpunkt-Mengen Null ist. Damit wäre dann:

[mm] \mu(U)=\mu\left(\bigcup_{n=0}^{\infty} \left(x_n-\epsilon,x_n+\epsilon\right)\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \mu(\left(x_n-\epsilon,x_n+\epsilon\right))=0\leq\epsilon [/mm]

Ist der Grundgedanke korrekt?

Bezug
                        
Bezug
Lebesgue-Maß, dicht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:57 Mo 26.10.2015
Autor: fred97


> Gut.
>  
> Dann nun zum Aufgabenteil b), hier weiß ich noch nicht so
> recht wie es funktioniert.
>  
> Zeigen möchte ich, dass zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] eine offene,
> dichte Teilmenge [mm]U[/mm] von [mm]\mathbb{R}[/mm] existiert mit
> [mm]\mu(U)<\epsilon[/mm].
>  
> Angefangen habe ich so:
>  
> Ich möchte die [mm]\sigma[/mm]-additivität des Lebesgue-Maßes
> nutzen. Also [mm]U[/mm] als abzählbare Vereinigung von offenen
> Mengen darstellen (womit [mm]U[/mm] offen ist).
>  Die rationalen Zahlen sind abzählbar.
>
> Ich wähle eine surjektive Folge
> [mm]x:\mathbb{N}\to\mathbb{Q}[/mm].
>  Nun will ich jeweils um die Folgeglieder eine
> [mm]\epsilon[/mm]-Umgebung legen, welche ich beliebig klein mache.
>
> [mm]\left(x_n-\epsilon,x_n+\epsilon\right)[/mm] wobei
> [mm]x_n\in\mathbb{Q}[/mm] natürlich das n-te Folgeglied meiner
> obigen Folge ist.
>  
> Dann gilt [mm]\bigcup_{n=0}^{\infty} \left(x_n-\epsilon,x_n+\epsilon\right)=\mathbb{R}[/mm]
>  
> Wähle ich nun [mm]U=\bigcup_{n=0}^\infty \left(x_n-\epsilon,x_n+\epsilon\right)[/mm]
> und lasse [mm]\epsilon\to[/mm] 0 streben, habe ich nur noch punkte,
> welche ich jeweils vereinige.

Nein. [mm] \epsilon [/mm] ist und bleibt fest !


>
> Zeigen müsste ich dann noch, dass das Maß dieser
> Einpunkt-Mengen Null ist. Damit wäre dann:
>  
> [mm]\mu(U)=\mu\left(\bigcup_{n=0}^{\infty} \left(x_n-\epsilon,x_n+\epsilon\right)\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \mu(\left(x_n-\epsilon,x_n+\epsilon\right))=0\leq\epsilon[/mm]
>  
> Ist der Grundgedanke korrekt?

Nein, aber brauchbar.

Wir haben also eine Folge [mm] (x_n) [/mm] mit


[mm] \overline{\{x_1,x_2,...\}}= \IR. [/mm]

Sei [mm] \epsilon [/mm] >0.

Für n [mm] \in \IN [/mm] setze

  [mm] U_n:=(x_n- \bruch{\epsilon}{2^{n+2}},x_n+ \bruch{\epsilon}{2^{n+2}}) [/mm]

und

  [mm] U:=\bigcup_{n=1}^{\infty}U_n. [/mm]


Zeige nun

  U ist offen, [mm] \overline{U}= \IR [/mm] und [mm] $\mu(U) \le \epsilon/2< \epsilon$ [/mm]

FRED


Bezug
                                
Bezug
Lebesgue-Maß, dicht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:12 Mo 26.10.2015
Autor: impliziteFunktion

Ok.

$U$ ist als abzählbare Vereinigung von offenen Mengen ebenfalls eine offene Menge.

Für [mm] $\overline{U}=\mathbb{R}$ [/mm] würde ich so vorgehen.
Es gilt auf jeden Fall [mm] $\overline{U}\subseteq\mathbb{R}$. [/mm]
Des Weiteren gilt [mm] $\mathbb{Q}\subseteq\overline{U}$. [/mm]
Und ich kann die irrationalen Zahlen als Grenzwert einer rationalen Folge darstellen. Da [mm] $\overline{U}$ [/mm] diese Grenzwerte enthält, gilt [mm] $\overline{U}=\mathbb{R}$. [/mm]

Zu [mm] $\mu(U)\leq\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$. [/mm]

Es ist [mm] $|x_n-\tfrac{\epsilon}{2^{n+2}}-(x_n+\tfrac{\epsilon}{2^{n+2}})|=\frac{\epsilon}{2^{n+1}}$ [/mm]

Mit der [mm] $\sigma$-Additivität [/mm] also

[mm] $\mu(U)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\epsilon}{2^{n+1}}=\epsilon\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+2}}=\frac{\epsilon}{4}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{\epsilon}{4}\cdot\left(\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}}\right)=\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$ [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Lebesgue-Maß, dicht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 Mo 26.10.2015
Autor: fred97


> Ok.
>  
> [mm]U[/mm] ist als abzählbare Vereinigung von offenen Mengen
> ebenfalls eine offene Menge.

Ja


>  
> Für [mm]\overline{U}=\mathbb{R}[/mm] würde ich so vorgehen.
>  Es gilt auf jeden Fall [mm]\overline{U}\subseteq\mathbb{R}[/mm].
>  Des Weiteren gilt [mm]\mathbb{Q}\subseteq\overline{U}[/mm].
>  Und ich kann die irrationalen Zahlen als Grenzwert einer
> rationalen Folge darstellen. Da [mm]\overline{U}[/mm] diese
> Grenzwerte enthält, gilt [mm]\overline{U}=\mathbb{R}[/mm].


Warum so umständlich ?

Allgemein gilt: $A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \Rightarrow \overline{A} \subseteq \overline{B}$ [/mm]  .


Aus $ [mm] \IQ \subseteq [/mm] U [mm] \subseteq \IR$ [/mm] folgt somit:

   $ [mm] \IR [/mm] = [mm] \overline{\IQ}\subseteq \overline{U} \subseteq \IR$, [/mm]

also [mm] \IR [/mm] = [mm] \overline{U}. [/mm]


>  
> Zu [mm]\mu(U)\leq\frac{\epsilon}{2}<\epsilon[/mm].
>  
> Es ist
> [mm]|x_n-\tfrac{\epsilon}{2^{n+2}}-(x_n+\tfrac{\epsilon}{2^{n+2}})|=\frac{\epsilon}{2^{n+1}}[/mm]



D.h: [mm] \mu(U_n)=\frac{\epsilon}{2^{n+1}} [/mm]




>  
> Mit der [mm]\sigma[/mm]-Additivität

?????

>  also
>  
> [mm]\mu(U)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\epsilon}{2^{n+1}}=\epsilon\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+2}}=\frac{\epsilon}{4}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{\epsilon}{4}\cdot\left(\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}}\right)=\frac{\epsilon}{2}<\epsilon[/mm]

Das erste "=" gefällt mir nicht. Die [mm] U_n [/mm] sind nicht paarweise disjunkt, also benötigst Du die [mm] \sigma [/mm] - Subadditivität des Maßes [mm] \mu: [/mm]

[mm] \mu(U) \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\epsilon}{2^{n+1}} [/mm]


FRED


Bezug
                                                
Bezug
Lebesgue-Maß, dicht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:37 Mo 26.10.2015
Autor: impliziteFunktion


> Allgemein gilt: $ A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \Rightarrow \overline{A} \subseteq \overline{B} [/mm] $

Ja, das ist natürlich eleganter. Danke.

> Das erste "=" gefällt mir nicht.

Ja, das erste Gleichheitszeichen hat mir auch nicht gefallen. Ich dachte mir bereits, dass die Intervalle nicht paarweise Disjunkt sind.
Ich habe noch mal ins Skript geschaut und wir haben nur die [mm] $\sigma$-Additivität [/mm] als Eigenschaft aufgezählt.
Die Subadditivität sollte aber leicht folgen, denn

[mm] $\mu(\bigcup_{n=1}^\infty U_n)=\sum_{n=1}^{\infty} \mu(U_n)-\mu(\bigcap_{n=1}^{\infty} U_n)\leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(U_n)$ [/mm]

Ich hatte im Vorfeld gezeigt, dass [mm] $\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)-\mu(A\cap [/mm] B)$ gilt.

Bezug
                                                        
Bezug
Lebesgue-Maß, dicht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:55 Mo 26.10.2015
Autor: tobit09

Hallo impliziteFunktion!


> Ja, das erste Gleichheitszeichen hat mir auch nicht
> gefallen. Ich dachte mir bereits, dass die Intervalle nicht
> paarweise Disjunkt sind.
>  Ich habe noch mal ins Skript geschaut und wir haben nur
> die [mm]\sigma[/mm]-Additivität als Eigenschaft aufgezählt.
>  Die Subadditivität sollte aber leicht folgen, denn
>
> [mm]\mu(\bigcup_{n=1}^\infty U_n)=\sum_{n=1}^{\infty} \mu(U_n)-\mu(\bigcap_{n=1}^{\infty} U_n)\leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(U_n)[/mm]

Das erste Gleichheitszeichen stimmt im Allgemeinen nicht.


> Ich hatte im Vorfeld gezeigt, dass [mm]\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)-\mu(A\cap B)[/mm]
> gilt.

Das stimmt.



Beweisidee zur Sub-Sigmaadditivität:

Setze [mm] $B_1:=U_1$, $B_2:=U_2\setminus U_1$, $B_3:=U_3\setminus (U_1\cup U_2)$, $B_4:=U_4\setminus(U_1\cup U_2\cup U_3)$ [/mm] usw.

Dann sind die [mm] $B_n$ [/mm] paarweise disjunkte messbare Mengen mit [mm] $B_n\subseteq U_n$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und [mm] $\bigcup_{n\in\IN}B_n=U_n$. [/mm]

Somit gilt

      [mm] $\mu(\bigcup_{n\in\IN}U_n)=\mu(\bigcup_{n\in\IN}B_n)=\sum_{n\in\IN}\mu(B_n)\le\sum_{n\in\IN}\mu(U_n)$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                                                
Bezug
Lebesgue-Maß, dicht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:38 Mo 26.10.2015
Autor: impliziteFunktion

Danke für den Hinweis!

Vielen Dank an alle beteiligten für die Hilfe.

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