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Lebesgue-Nullmenge: Frage zu einer Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:53 Mi 14.12.2016
Autor: Stala

Aufgabe
Bitte  beantworten  Sie  die   nachstehende Fragen  bezüglich  Lebesgue-Nullmengen in
[mm] R^d [/mm]
Bitte beweisen Sie dabei Ihre Antwort oder geben Sie ein wi-
derlegendes Gegenbeispiel an

Sei A [mm] \subset \mathbb{R} [/mm] eine beliebige Teilmenge von [mm] \mathbb{R}. [/mm] Ist dann A [mm] \times [/mm] {0} eine Nullmenge in [mm] \mathbb{R}^2 [/mm]


Hallo liebes Forum,

dies war eine Aufgabe aus meinem Kurs. Ich hatte hier recht kurz so argumentiert:

Die Menge ( A [mm] \times [/mm] {0}) ist im Allgmeinen keine Lebesgue-Nullmenge.
Sei A eine nicht [mm] \lambda_1 [/mm] - messbare Menge (diese existiert nach Skript). Dann ist gilt für die Menge [mm] \lambda_2 [/mm] ( A [mm] \times [/mm] {0}) = [mm] \lambda_1(A) \cdot \lambda_1( [/mm] {0} )

Da [mm] \lambda_1(A) [/mm] nicht messbar ist, kann [mm] \lambda_2 [/mm] ( A [mm] \times [/mm] {0}) auch keine Nullmenge sein.

Dieser Ansatz wurde mit Null Punkten geahndet, die Musterlösung löst die Aufgabe so, dass ( A [mm] \times [/mm] {0}) immer eine Lebesgue-Nullmenge ist. Den Beweis kann ich allerdings auch nicht ganz nachvollziehen an dem Punkt...

Die Kursbetreuung reagiert leider nicht auf Rückfragen, aber vielleicht kann mir hier jemand erläutern, warum ( A [mm] \times [/mm] {0}) auch bei nicht-messbarem A eine Lebesguenullmenge ist?

VG

        
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Lebesgue-Nullmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Mi 14.12.2016
Autor: fred97

Es gilt: ist B eine Lebesque-Nullmenge und C eine Teilmenge von B, so ist auch C eine Lebesgue - Nullmenge

A x {0}  ist Teilmenge von [mm] \IR [/mm] x {0}.

Bezug
                
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Lebesgue-Nullmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 Mi 14.12.2016
Autor: Stala

Hallo Fred,

dane für die schnelle Reaktion. Dies klingt plausibel, steht aber im klaren Widerspruch zu dem in der Vorlesung geführten Beweis, dass es Mengen in [mm] \mathbb{R}^d [/mm] gibt, die nicht lebesgue-messbar sind.

Es wurde wie folgt bewiesen. Zunächst wird die Existenz einer Menge M bewiesen, die nicht [mm] \lambda_1 [/mm] -messbar ist. Soweit so klar. dann geht es wörtlich weiter:

Schritt 4:
Wir haben damit gezeigt, dass es eine Menge M [mm] \in \mathbb{R} [/mm] gibt, die nicht [mm] \lambda_1-messbar [/mm] ist. Durch [mm] \tilde{M} [/mm] = M [mm] \times \{0\}^{d-1} [/mm] wird eine Menge [mm] \tilde{M} \in \mathbb{R}^d [/mm] definiert, die nicht [mm] \lambda_d [/mm] messbar ist.

Das sieht man so: Wäre [mm] \tilde{M} [/mm] nämlich [mm] \lambda_d [/mm] messbar, dann würde [mm] \lambda_d (\tilde{M} [/mm] ) = [mm] \lambda_1 [/mm] (M) [mm] \cdot \produkt_{i=1}^{d-1} \lambda_1( [/mm] {0} ) gelten. Aber M ist nicht messbar.

Es wird noch weiter ausgeführt:
Wir definieren die Abbildung g : [mm] \mathbb{R} \to \mathbb{R}^d [/mm] durch g(x) = (x,0,0...0). Dann ist die Menge M = [mm] g^{-1} [/mm] (M [mm] \times \mathbb{R}^{d-1}) [/mm] Wäre nun M [mm] \times \mathbb{R}^{d-1} \lambda_d [/mm] messbar, dann müsste die Menge Menge M wegen der Messbarkeit von g [mm] \lambda_1 [/mm] messbar sein.

Eigentlich hab ich ja bei meiner lÖsung dies nur für den Fall d=2 übernommen, deswegen da gar nicht wieter drüber nachgedacht...

Gilt deine Aussage nicht nur auf der Sigmaalgebra [mm] \mathcal{A}_{\lambda_d}, [/mm] also der Vervollständigung der Borel-schen Sigmalagebra? Nach Voraussetzung ist A [mm] \notin \mathcal{A}_{\lambda_d} [/mm]



VG

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Lebesgue-Nullmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Mi 14.12.2016
Autor: fred97

Ist eine Menge in einer lebesgue-messbaren Menge mit Lebesgue-Maß 0 enthalten, so heisst sie Lebesgue-Nullmenge. Sie selbst muss nicht messbar sein. Sie hat aber das äußere Lebesgue-Maß 0.


Bezug
                                
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Lebesgue-Nullmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 Mi 14.12.2016
Autor: Stala

Hallo,

dazu habe ich dann leider aber noch eine Nachfrage:

( [mm] \mathbb{R}^d, \mathcal{A}_{\lambda_d}, \lambda_d [/mm] ) ist der Maßraum aller lebesguemessbaren Mengen und dem Lebesguemaß. Dieser ist ja nach Konstruktion vollständig, das bedeutet:

Sei N [mm] \in \mathcal{A}_{\lambda_d} [/mm] eine Menge mit [mm] \lambda_d [/mm] (N) = 0 und [mm] \tilde{N} \subset [/mm] N, dann folgt, dass [mm] \tilde{N} \in \mathcal{A}_{\lambda_d} [/mm]

Das ist ja die Definition eines vollständigen Maßraums. Sei A [mm] \subset \mathbb{R} [/mm] wieder nicht [mm] \lambda_1 [/mm] messbar. Da ja [mm] \mathbb{R} \times \{ 0 \} [/mm] eine Nullmenge ist  (klar)und A [mm] \times \{ 0 \} \subset \mathbb{R} \times \{ 0 \} [/mm] gilt (auch klar), folgt, dass A [mm] \times \{ 0 \} \in \mathcal{A}_{\lambda_2} [/mm]

Richtig?

Ist das dann aber nicht ein Widerpsruch zu dem im Skript geführten Beweis, der gerade zeigen soll, dass A [mm] \times \{ 0 \} \notin \mathcal{A}_{\lambda_2}? [/mm]





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Lebesgue-Nullmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 Do 15.12.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Das ist ja die Definition eines vollständigen Maßraums.

bis hierhin war es ok.

> Sei A [mm]\subset \mathbb{R}[/mm] wieder nicht [mm]\lambda_1[/mm] messbar. Da ja [mm]\mathbb{R} \times \{ 0 \}[/mm] eine Nullmenge ist  (klar)und A [mm]\times \{ 0 \} \subset \mathbb{R} \times \{ 0 \}[/mm] gilt
> (auch klar), folgt, dass A [mm]\times \{ 0 \} \in \mathcal{A}_{\lambda_2}[/mm]
>  
> Richtig?

Korrekt.

>  
> Ist das dann aber nicht ein Widerpsruch zu dem im Skript geführten Beweis, der gerade zeigen soll, dass A [mm]\times \{ 0 \} \notin \mathcal{A}_{\lambda_2}?[/mm]

Korrekt, ich zitiere mal deinen angegebenen Beweis.

>  Schritt 4:
> Wir haben damit gezeigt, dass es eine Menge M $ [mm] \in \mathbb{R} [/mm] $ gibt, die nicht $ [mm] \lambda_1-messbar [/mm] $ ist. Durch $ [mm] \tilde{M} [/mm] $ = M $ [mm] \times \{0\}^{d-1} [/mm] $ wird eine Menge $ [mm] \tilde{M} \in \mathbb{R}^d [/mm] $ definiert, die nicht $ [mm] \lambda_d [/mm] $ messbar ist.

Sofern mit [mm] $\lambda_d$ [/mm] wirklich das Lebesgue-Maß gemeint ist, ist die Aussage schlicht falsch.
Allerdings gibt es die (unsaubere) Notation mit [mm] $\lambda_d$ [/mm] sowohl das Borel-Maß als auch das Lebesgue-Maß zu bezeichnen.
Das nennt man dann gemeinhin "Borel-Lebesgue-Maß", weil beide Maße auf den Borel-meßbaren Mengen trivialerweise übereinstimmen, da die Lebesgue-Sigma-Algebra nur die Vervollständigung der Borel-Sigma-Algebra ist.

Ich würde jetzt mal vermuten, dass ihr nur Borel-Mengen betrachtet habt, da stimmt nämlich die Aussage:

> Das sieht man so: Wäre $ [mm] \tilde{M} [/mm] $ nämlich $ [mm] \lambda_d [/mm] $ messbar, dann würde $ [mm] \lambda_d (\tilde{M} [/mm] $ ) = $ [mm] \lambda_1 [/mm] $ (M) $ [mm] \cdot \produkt_{i=1}^{d-1} \lambda_1( [/mm] $ {0} ) gelten. Aber M ist nicht messbar.

Die Produktregel oben gilt wegen obigem eben für die Lebesgue-Sigma-Algebra gerade nicht…

Gruß,
Gono

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Lebesgue-Nullmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:43 Fr 16.12.2016
Autor: Stala

Vielen Dank!

Ziel des Beweises war es eigentlich zu zeigen, dass eine Menge M [mm] \in \mathbb{R}^d [/mm] existiert, die nicht zur Lebesgue-Sigmalagebra [mm] \mathcal{A}_{\lambda_d} [/mm] gehört. Das hat man damit ja dann nicht gezeigt ;)

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Lebesgue-Nullmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:35 Sa 17.12.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ziel des Beweises war es eigentlich zu zeigen, dass eine
> Menge M [mm]\in \mathbb{R}^d[/mm] existiert, die nicht zur
> Lebesgue-Sigmalagebra [mm]\mathcal{A}_{\lambda_d}[/mm] gehört. Das
> hat man damit ja dann nicht gezeigt ;)

korrekt.
Aber eine Frage hab ich doch noch: Ich kenne die Bezeichnung von  [mm]\mathcal{A}_{\lambda_d}[/mm] eigentlich nur aus der Maßerweiterung nach Caratheodory. Habt ihr  [mm]\mathcal{A}_{\lambda_d}[/mm] darüber konstruiert oder anders?

Gruß,
Gono

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Lebesgue-Nullmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:39 Sa 17.12.2016
Autor: Stala

Hiho,

hm, auf jeden Fall war es ein weiter Weg bis zum Maß... der Name  Caratheodory ist nicht gefallen

Angefangen vom Inhalt/Prämaß auf einem Halbring, über den erzeugten Ring und der Erweiterung des Inhalts /Prämaß auf den Ring.

Dan die vom Ring erzeugte Sigmalagebra und die Erweiterung des Prämaßes zu einem äußerens Maß auf der Potenzmenge. Der zentrale Satz der Maßerweiterung war dann:

Ist [mm] \mu [/mm] ein Prämaß auf einem Ring [mm] \mathcal{R} [/mm] und [mm] \mu [/mm] * das äußere Maß von [mm] \mu, [/mm] dann ist die Menge [mm] \mathcal{A}_{\mu} [/mm] der [mm] \mu-messbaren [/mm] Mengen eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra und die Einschränkung von [mm] \mu [/mm] *  auf [mm] \mathcal{A}_{\mu} [/mm] ein Maß.

Das Ganze dann noch für das Volumen (Borel und Lebesgue) und Produktmengen(funktionen) nachvollzogen und festgestellt, dass [mm] \mathcal{A}_{\mu} [/mm] vollständig ist und die Sigmaalgebra über dem Ring [mm] \mathcal{R} [/mm] enthält.

Warum? Ist der Weg von Bedeutung? ;)

Bezug
                                                                        
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Lebesgue-Nullmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:11 Sa 17.12.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ist [mm]\mu[/mm] ein Prämaß auf einem Ring [mm]\mathcal{R}[/mm] und [mm]\mu[/mm] *
> das äußere Maß von [mm]\mu,[/mm] dann ist die Menge
> [mm]\mathcal{A}_{\mu}[/mm] der [mm]\mu-messbaren[/mm] Mengen eine [mm]\sigma[/mm]
> -Algebra und die Einschränkung von [mm]\mu[/mm] *  auf
> [mm]\mathcal{A}_{\mu}[/mm] ein Maß.

das ist der []Maßerweiterungssatz von Caratheodory.

> Das Ganze dann noch für das Volumen (Borel und Lebesgue) und Produktmengen(funktionen) nachvollzogen und festgestellt, dass $ [mm] \mathcal{A}_{\mu} [/mm] $ vollständig ist und die Sigmaalgebra über dem Ring $ [mm] \mathcal{R} [/mm] $ enthält.

> Warum? Ist der Weg von Bedeutung? ;)

Ja, weil damit sofort klar wird, dass der Ansatz von dem "Beweis" fehlschlagen muss, weil jede Maßerweiterung nach Caratheodory zu einer vollständigen Sigma-Algebra führt und sie daher trivialerweise alle Teilmengen von Nullmengen enthält… sich dann eine Teilmenge einer Nullmenge zu nehmen und zeigen zu wollen, sie sei nicht meßbar, ist eben daher wenig zielführend :-)

Gruß,
Gono

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Lebesgue-Nullmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 Mi 14.12.2016
Autor: donquijote


> Hallo Fred,
>  
> dane für die schnelle Reaktion. Dies klingt plausibel,
> steht aber im klaren Widerspruch zu dem in der Vorlesung
> geführten Beweis, dass es Mengen in [mm]\mathbb{R}^d[/mm] gibt, die
> nicht lebesgue-messbar sind.
>  

Hallo,
Freds Argumentation ist korrekt.

> Es wurde wie folgt bewiesen. Zunächst wird die Existenz
> einer Menge M bewiesen, die nicht [mm]\lambda_1[/mm] -messbar ist.
> Soweit so klar. dann geht es wörtlich weiter:
>  
> Schritt 4:
>  Wir haben damit gezeigt, dass es eine Menge M [mm]\in \mathbb{R}[/mm]
> gibt, die nicht [mm]\lambda_1-messbar[/mm] ist. Durch [mm]\tilde{M}[/mm] = M
> [mm]\times \{0\}^{d-1}[/mm] wird eine Menge [mm]\tilde{M} \in \mathbb{R}^d[/mm]
> definiert, die nicht [mm]\lambda_d[/mm] messbar ist.
>  
> Das sieht man so: Wäre [mm]\tilde{M}[/mm] nämlich [mm]\lambda_d[/mm]
> messbar, dann würde [mm]\lambda_d (\tilde{M}[/mm] ) = [mm]\lambda_1[/mm] (M)
> [mm]\cdot \produkt_{i=1}^{d-1} \lambda_1([/mm] {0} ) gelten. Aber M
> ist nicht messbar.

Wenn der Beweis so geführt wurde, ist er fehlerhaft. Es müsste statt [mm]\{0\}[/mm] eine Teilmenge [mm]B\subset\mathbb{R}[/mm] mit positivem Maß betrachtet werden.

>  
> Es wird noch weiter ausgeführt:
>  Wir definieren die Abbildung g : [mm]\mathbb{R} \to \mathbb{R}^d[/mm]
> durch g(x) = (x,0,0...0). Dann ist die Menge M = [mm]g^{-1}[/mm] (M
> [mm]\times \mathbb{R}^{d-1})[/mm] Wäre nun M [mm]\times \mathbb{R}^{d-1} \lambda_d[/mm]
> messbar, dann müsste die Menge Menge M wegen der
> Messbarkeit von g [mm]\lambda_1[/mm] messbar sein.

Auf die Weise könnte man zeigen, dass [mm]M\times\mathbb{R}^{d-1}[/mm] nicht Borel-messbar ist. Der Knackpunkt ist aber, dass die Abbidung g nicht messbar bezüglich der Lebesgue-Sigma-Algebra ist.

>  
> Eigentlich hab ich ja bei meiner lÖsung dies nur für den
> Fall d=2 übernommen, deswegen da gar nicht wieter drüber
> nachgedacht...
>  
> Gilt deine Aussage nicht nur auf der Sigmaalgebra
> [mm]\mathcal{A}_{\lambda_d},[/mm] also der Vervollständigung der
> Borel-schen Sigmalagebra? Nach Voraussetzung ist A [mm]\notin \mathcal{A}_{\lambda_d}[/mm]
>  
>
>
> VG


Bezug
                                
Bezug
Lebesgue-Nullmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:18 Do 15.12.2016
Autor: Stala

Super !

Vielen vielen Dank!

der Beweis wurde tatsächlich wörtlich so geführt. Wenn dies der Fehler ist, dann lösen sich auch die ganzen Widersprüche in meinem Kopf auf :)

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