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Lebesgue-Stieltjes-Prämaß: Verteilungsfunktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:05 Do 05.03.2015
Autor: mathestudent222

Aufgabe
Hallo! Ich muss folgendes zeigen: Sei \mu:I_{\mathbb{R}}\to\[0,\infty] ein Prämaß und F(t)=\mu((0,t]) falls t\geq0 und F(t)=-\mu((t,0]) falls t<0. Dann gilt \mu((a,b])=F(b)-F(a).

Für a<0<b ist es nicht schwierig, weil man das Intervall passend zerlegen kann und anschließend die Sigma-Add. vom Prämaß verwenden kann: \mu((a,b])=\mu((a,0]\cup(0,b])=\mu((a,0])+\mu((0,b])=F(b)-F(a).

Für 0<=a<b kann man ja (a,b]=(0,b]\setminus(0,a] schreiben. Im Allgemeinen muss ja eine Differenz gar nicht im Halbring, auf dem das Prämaß definiert wird, enthalten sein (hier ist das kein Problem, da ich ja wieder ein Intervall erhalte). Wie kann ich aber nun Eigenschaften des Prämaßes benutzen, um die Behauptung zu zeigen?

        
Bezug
Lebesgue-Stieltjes-Prämaß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 Do 05.03.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

es gilt für $0 < a < b: (0,b] = (0,a] [mm] \cup [/mm] (a,b]$

Gruß,
Gono

Bezug
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