Lebesgue, Hüllreihe < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Di 11.11.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei [mm] $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ [/mm] eine Lebesgue-integrierbare Funktion. Beweisen Sie, dass dann die Funktion [mm] $x\mapsto f(\lambda [/mm] x)$ mit [mm] $\lambda>0$ [/mm] und
[mm] $\int_{\mathbb{R}^n} f(\lambda x)\, dx=\lambda^n\int_{\mathbb{R}^n} f(x)\, [/mm] dx$
gilt.
Folgern Sie, dass es eine Konstante [mm] $c_n>0$ [/mm] gibt so, dass [mm] $\operatorname{vol}(B_r(0))=c_n\cdot r^n$ [/mm] für alle $r>0$ gilt. |
Hi,
ich bearbeite gerade diese Aufgabe.
Also, ich möchte zeigen, dass
[mm] $x\mapsto f(\lambda [/mm] x)$
Lebesgue-integrierbar ist.
Ich weiß, dass f Lebesgue integrierbar ist, also existiert eine Folge von Treppenfunktionen so, dass gilt
[mm] $\lim_{k\to\infty} ||f-\varphi_k||_1=0$
[/mm]
Nun definiere ich mir eine neue Funktion und Treppenfunktion wie folgt:
[mm] $g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{C}\cup\{\infty\}$
[/mm]
[mm] $x\mapsto f(\lambda [/mm] x)$
Und eine Folge von Treppenfunktionen mit
[mm] $\phi_k:\mathbb{R}^n\to\mathbb{C}\cup\{\infty\}$
[/mm]
[mm] $x\mapsto \varphi(\lambda [/mm] x)$
Nun muss ich zeigen, dass
[mm] $\lim_{k\to\infty} ||g-\phi_k||_1=0$ [/mm]
ist.
So, nun muss ich mir eine Hüllreihe konstruieren für die das gilt.
Wäre das soweit erstmal korrekt?
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Di 11.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
ja, und der Beweis sollte nicht allzu schwer sein. Man muss nur die Quader skalieren; dabei erhält man eine Faktor [mm] $\lambda^n$.
[/mm]
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Di 11.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Wie kann man sich denn am besten eine Hüllreihe zu [mm] $\phi_k$ [/mm] nun konstruieren?
Ich denke ich benutze die Hüllreihe von [mm] $\varphi_k$ [/mm] als Grundlage.
Eine Hüllreihe ist ja eigentlich nur eine "Linearkombination" aus Charakteristischen Funktionen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:07 Mi 12.11.2014 | | Autor: | andyv |
Wie ich schon schrieb, sind die Quader (in der Definition von [mm] $\varphi_k$) [/mm] mit [mm] $\lambda$ [/mm] zu skalieren, du machst also so zu sagen die Treppenstufen breiter (bzw. schmaler).
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Mi 12.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah, das ist dann also ganz einfach. Ich nehme einfach die Hüllreihe, welche ich weiß, dass sie zu f existiert und hänge lediglich überall den Vorfaktor [mm] $\lambda$ [/mm] an.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Do 13.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Hat hier noch jemand eine Anmerkung für mich?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Do 13.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Hat jemand einen Tipp zu dem zweiten Aufgabenteil?
Folgern Sie, dass es eine Konstante [mm] $c_n>0$ [/mm] gibt so, dass
[mm] $vol(B_r(0))=c_nr^n$ [/mm]
für $r>0$
Es gilt ja [mm] $\int_{\mathbb{R}^n} \chi_Q(x)\, [/mm] dx=vol(Q)$
Dann betrachte ich hier
[mm] $\int_{\mathbb{R}^n} \chi_{B_r(0)}=vol(B_r(0))$
[/mm]
Wie kann hier der erste Aufgabenteil helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Do 13.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
nach Teil a. ist $ [mm] \int_{\mathbb{R}^n} \chi_{B_r(0)}(x) dx=r^n\int_{\mathbb{R}^n} \chi_{B_1(0)}(x)dx [/mm] $.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Do 13.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Was ich gerade nicht so ganz verstehe ist, wieso aus dem Radius r hier nun Radius 1 wird.
Liegt es daran, dass laut a) das ganze "normiert" wird.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Do 13.11.2014 | | Autor: | andyv |
Wenn [mm] $f(x):=\chi_{B_1(0)}(x)$, [/mm] $x [mm] \in \mathbb{R}^n$, [/mm] dann ist [mm] $f(rx)=\chi_{B_r(0)}(x)$ $\forall [/mm] x$
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Do 13.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Alles klar. Und [mm] \int_{\mathbb{R}^n} \chi_{B_1(0)}\, dx=vol(B_1(0))>0 [/mm] also meine positive Konstante [mm] $c_n$.
[/mm]
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Do 13.11.2014 | | Autor: | andyv |
Ja, wieso [mm] $c_n>0$ [/mm] kann man sich noch überlegen, ebenso ob die Voraussetzungen von a erfüllt sind.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Do 13.11.2014 | | Autor: | andyv |
Sei zu [mm] $\epsilon>0$ $\|f-\sum_k c_k \chi_{Q_k}\|_1<\frac{\epsilon}{\lambda^n}$
[/mm]
Zeige, dass [mm] $\|g-\sum_k c_k \chi_{\lambda Q_k}\|_1<\epsilon$ [/mm] mit [mm] $g(x):=f(\lambda [/mm] x)$.
Liebe Grüße
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:26 Do 13.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Gehört das zum ersten Aufgabenteil, oder zum zweiten?
Ich verstehe dich gerade leider nicht so recht, also den Zusammenhang deiner Rückmeldung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 So 16.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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