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Lebesgue Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:28 Mo 08.10.2007
Autor: SonniL

Aufgabe
Zeigen Sie. dass falls B eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] mit [mm] \lambda^{\*}(B) [/mm] > 0 [mm] (\lambda^{\*} [/mm] ist das äußere Lebesgue-Maß) ist, dann enthält B eine Menge, die nicht Lebesgue-messbar ist.

Hallo zusammen!

Komme da nicht mit weiter. Ich denke, dass der richtige Ansatz hier ist zu benutzen, dass es eine Teilmenge A des [mm] \IR [/mm] gibt, so das jede Menge in A oder in [mm] A^{c} [/mm] das Lebesgue-Maß 0 hat. Darauf folgt auch, das A nicht Lebesgue-messbar ist. Weiß aber trotzdem nicht, wie ich diese Information benutzen soll.

Vielen Danke für jede Hilfe!
Sonja

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lebesgue Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Mo 08.10.2007
Autor: banachella

[willkommenmr]

Hallo!

Ganz genau habe ich mir den Lösungsweg nicht überlegt, aber er müsste eigentlich funktionieren: Überlege dir zunächst, dass du ohne Einschränkung [mm] $B\subseteq [/mm] [0;1]$ annehmen kannst. Konstruiere dann eine Menge [mm] $\tilde [/mm] V$ auf dieselbe Weise wie die Vitali-Menge, allerdings sollen die Repräsentanten -  also die Elemente von [mm] $\tilde [/mm] V$ - alle in $B$ liegen. Jetzt müsste man auf die selbe Weise wie bei der Vitali-Menge zeigen können, dass [mm] $\tilde [/mm] V$ nicht Lebesgue-messbar ist.

Hilft dir dieser Ansatz weiter?

Viele Grüße, banachella

Bezug
                
Bezug
Lebesgue Maß: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:53 Mo 08.10.2007
Autor: SonniL

Leider kenn ich die Vitali-Menge nicht, haben wir noch nicht besprochen in der Vorlesung, daher hilft mir das leider nicht weiter.

Gibt es da einen anderen Weg?

Bezug
                        
Bezug
Lebesgue Maß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:44 Di 09.10.2007
Autor: banachella

Hallo SonniL,

leider fällt mir kein anderes Beispiel ein, sorry!

Gruß, banachella

Bezug
                        
Bezug
Lebesgue Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Di 09.10.2007
Autor: Blech


> Leider kenn ich die Vitali-Menge nicht, haben wir noch
> nicht besprochen in der Vorlesung, daher hilft mir das
> leider nicht weiter.
>  
> Gibt es da einen anderen Weg?

Kennst Du irgendeine nicht Lebesgue-meßbare Menge?

Also die Grundidee ist folgende:
Entweder ist B nicht L-meßbar, dann ist die Antwort trivial, oder sie ist, dann gibt es ein [mm] $B_1\in \mathcal{B}$ [/mm] mit [mm] $B_1\subset [/mm] B$. Und in dieses [mm] $B_1$ [/mm] stopfst Du dann Deine nicht meßbare Menge.
Die Vitali-Menge bietet sich hier an, und wenn ihr wirklich nichts dazu hattet (aber ich kann mir ehrlich nicht vorstellen, daß das finden einer nicht-meßbaren Menge, ohne jede Anleitung, Teil der Aufgabe sein soll), dann kannst Du ja einfach mal danach googlen. Es ist eine Zerlegung eines Intervalls in -durch rationale Differenzen definierte- Äquivalenzklassen.



Bezug
                        
Bezug
Lebesgue Maß: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mi 10.10.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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