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| Aufgabe | Ist f auf Q [mm] \lambda^2 [/mm] summierbar?
f(x,y) = [mm] \bruch{x}{x^2+y^2} [/mm] , Q = [-1,1] x [0,2] |
Huhu!
Ich bin mir ziemlich sicher, dass es nicht [mm] \lambda^2 [/mm] summierbar ist, da das Integral meiner Meinung nach nicht existiert (durch wolfrahm zum teil),
es ist allerdings nicht einfach zu beweisen, wen etwas nicht Lebesgue summierbar ist (wenn es das ist, ist es leicht mittels Riemann Integierbarkeit finde ich)
Ich habe mir das hier angeguckt:
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Fubini
unter dem Abschnitt "Satz von Fubini für das Lebesgue-Integral"
reicht die Vorraussetzung "f [mm] \ge [/mm] 0" fast überall.
Jetzt frage ich mich, ist das eine hinreichende Bedingung? Oder ist es so, wenn ich eine negativ Stelle finde (z.b. x = -1 , y = 0), dass es eine ausreichende Begründung ist, dafür dass es nicht [mm] \lambda^2 [/mm] summierbar ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
was meinst du mit "summierbar"?
Integrierbar?
Gruß,
Gono.
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Hiho,
> Ist f auf Q [mm]\lambda^2[/mm] summierbar?
Ich geh jetzt einfach mal davon aus, dass du integrierbar meinst.
> f(x,y) = [mm]\bruch{x}{x^2+y^2}[/mm] , Q = [-1,1] x [0,2]
> Ich bin mir ziemlich sicher, dass es nicht [mm]\lambda^2[/mm]
> summierbar ist, da das Integral meiner Meinung nach nicht existiert
Also ich bin mir ziemlich sicher, dass es sehr wohl integrierbar ist und das Integral existiert.
> Ich habe mir das hier angeguckt:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Fubini
>
> unter dem Abschnitt "Satz von Fubini für das Lebesgue-Integral"
>
> reicht die Vorraussetzung "f [mm]\ge[/mm] 0" fast überall.
> Jetzt frage ich mich, ist das eine hinreichende Bedingung?
Ja.
> Oder ist es so, wenn ich eine negativ Stelle finde (z.b. x
> = -1 , y = 0), dass es eine ausreichende Begründung ist,
> dafür dass es nicht [mm]\lambda^2[/mm] summierbar ist?
Nein! Du verwechselst wohl hinreichend mit notwendig.
Fubini ist aber keine schlechte Idee. Erinnere dich mal an die Definition des Lebesgue-Integrals für beliebige Funktionen.
Genau das tust du hier: Zerlege das Integrationsgebiet geeignet, so dass du bei beiden Summanden Fubini anwenden kannst und integriere dann.
Gruß,
Gono.
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> Hiho,
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> > Ist f auf Q [mm]\lambda^2[/mm] summierbar?
>
> Ich geh jetzt einfach mal davon aus, dass du integrierbar
> meinst.
>
> > f(x,y) = [mm]\bruch{x}{x^2+y^2}[/mm] , Q = [-1,1] x [0,2]
>
> > Ich bin mir ziemlich sicher, dass es nicht [mm]\lambda^2[/mm]
> > summierbar ist, da das Integral meiner Meinung nach nicht
> existiert
>
> Also ich bin mir ziemlich sicher, dass es sehr wohl
> integrierbar ist und das Integral existiert.
>
>
> > Ich habe mir das hier angeguckt:
> >
> > http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Fubini
> >
> > unter dem Abschnitt "Satz von Fubini für das
> Lebesgue-Integral"
> >
> > reicht die Vorraussetzung "f [mm]\ge[/mm] 0" fast überall.
> > Jetzt frage ich mich, ist das eine hinreichende
> Bedingung?
>
> Ja.
>
> > Oder ist es so, wenn ich eine negativ Stelle finde (z.b. x
> > = -1 , y = 0), dass es eine ausreichende Begründung ist,
> > dafür dass es nicht [mm]\lambda^2[/mm] summierbar ist?
>
> Nein! Du verwechselst wohl hinreichend mit notwendig.
> Fubini ist aber keine schlechte Idee. Erinnere dich mal an
> die Definition des Lebesgue-Integrals für beliebige
> Funktionen.
>
> Genau das tust du hier: Zerlege das Integrationsgebiet
> geeignet, so dass du bei beiden Summanden Fubini anwenden
> kannst und integriere dann.
>
> Gruß,
> Gono.
>
Huhu,
danke dir für die Erklärung, also klar gilt Fubini, stetige Funktionen kompositioniert auf kompakten Quadern,
Summierbar bedeutet, dass das Integral endlich ist.
Also kommt das gleich raus nach Fubini, egal wie ich zuerst rechne,
also als Anfang nach x:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{x}{x^2+y^2} dx} [/mm] = 0 (1/2 [mm] (log(1+y^2) -log(1+y^2))) [/mm] frei nach wolfrahm :P, Somit ist die Stammfunktion davon nach y ja auch 0.
Aber gibts die Möglichkeit, dass mit Definitionen zu zeigen? Ich hab einen Satz der sagt, dass jede Riemman integrierbare Funktion (die beschränkt ist) auch [mm] \lambda^1 [/mm] - summierbar ist, weiß allerdings nicht, ob dies auch im Mehrdimensionalen der Fall ist.
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Hiho,
> danke dir für die Erklärung, also klar gilt Fubini,
> stetige Funktionen kompositioniert auf kompakten Quadern
nein, das kannst du hier nicht anwenden, da f nicht stetig auf dem Integrationsgebiet ist!
> Also kommt das gleich raus nach Fubini, egal wie ich zuerst rechne,
achso, was denn?
> also als Anfang nach x:
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{x}{x^2+y^2} dx}[/mm] = 0 (1/2
> [mm](log(1+y^2) -log(1+y^2)))[/mm] frei nach wolfrahm :P
> Aber gibts die Möglichkeit, dass mit Definitionen zu
> zeigen? Ich hab einen Satz der sagt, dass jede Riemman
> integrierbare Funktion (die beschränkt ist) auch [mm]\lambda^1[/mm]
> - summierbar ist, weiß allerdings nicht, ob dies auch im
> Mehrdimensionalen der Fall ist.
Ja.
Du berechnest doch das Riemann-Integral und NICHT das Lebesgue-Integral.
Gruß,
Gono.
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> Hiho,
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> > danke dir für die Erklärung, also klar gilt Fubini,
> > stetige Funktionen kompositioniert auf kompakten Quadern
>
> nein, das kannst du hier nicht anwenden, da f nicht stetig
> auf dem Integrationsgebiet ist!
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> > Also kommt das gleich raus nach Fubini, egal wie ich zuerst
> rechne,
>
> achso, was denn?
>
> > also als Anfang nach x:
> >
> > [mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{x}{x^2+y^2} dx}[/mm] = 0 (1/2
> > [mm](log(1+y^2) -log(1+y^2)))[/mm] frei nach wolfrahm :P
>
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> > Aber gibts die Möglichkeit, dass mit Definitionen zu
> > zeigen? Ich hab einen Satz der sagt, dass jede Riemman
> > integrierbare Funktion (die beschränkt ist) auch [mm]\lambda^1[/mm]
> > - summierbar ist, weiß allerdings nicht, ob dies auch im
> > Mehrdimensionalen der Fall ist.
>
> Ja.
> Du berechnest doch das Riemann-Integral und NICHT das
> Lebesgue-Integral.
>
> Gruß,
> Gono.
Also dadurch dass ich das eine Riemann Integral berechnet habe folgt also nichts, wenn nicht Fubini gilt, denn für die Fkt muss Fubini gelten, also die Integrationsreihenfolge muss bel sein für [mm] \lambda^2 [/mm] Summierbarkeit. Nur wenn Fubini nicht gilt, da die Fkt nicht stetig ist auf dem Def. Intervall wie du sagst, dann kanns doch nicht lebesgue summierbar sein oder?
(bei der andren Integrationsreihenfolge kommt bei wolfram nur Seltsames)
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Hiho,
könntest du versuchen deine Texte verständlich zu verfassen? So muss man immer halb raten, was du eigentlich meinst!
> Also dadurch dass ich das eine Riemann Integral berechnethabe folgt also nichts
Doch! Wenn eine Funktion auf einem kompakten Intervall Riemann-integrierbar ist, so ist sie dort auch Lebesgue-integrierbar.
> wenn nicht Fubini gilt, denn für die Fkt muss Fubini gelten, also die Integrationsreihenfolge muss bel sein für [mm]\lambda^2[/mm] Summierbarkeit.
Der Satz ist unverständlich bis sinnlos.
> Nur wenn Fubini nicht gilt, da die Fkt nicht stetig ist auf dem Def. Intervall wie du sagst, dann kanns doch nicht lebesgue summierbar sein oder?
Fubini gilt aber, nur nicht aus dem Grund, den du genannt hast!
Und ja, wenn du zeigen kannst, dass für ein Integral der Satz von Fubini nicht gilt, hast du gezeigt, dass die Funktion nicht Lebesgue-summierbar ist bezüglich [mm] $\lambda^2$.
[/mm]
> (bei der andren Integrationsreihenfolge kommt bei wolfram nur Seltsames)
Nö, wolfram spuckt bei beiden Integrationsreihenfolgen Null aus.
Gruß,
Gono.
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Sry falls ich mich komische ausrücke,
Aus welchen Gründen gilt denn Fubini so , sodass ich es nicht vorher berechnen muss?
es gilt nicht, dass f [mm] \ge [/mm] 0 im Bereich und ohne Berechnung kann ich auch nicht sagen, dass das Integral von |f(x,y)| im Bereich endlich ist.
Welche Vor. gibt es denn noch, sodass Fubini gilt? Reicht es, wenn beide iterieten Integrale existieren? (also jeweils nur einmal in beide Richtungen abgeleitet)
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Hiho,
> es gilt nicht, dass f [mm]\ge[/mm] 0 im Bereich
stimmt, aber du kannst f so aufteilen in 2 Bereiche, dass in beiden [mm] $f\ge [/mm] 0$ gilt und du Fubini anwenden kannst.
Suche dir also ein Integrationsgebiet A, so dass gilt:
$f = [mm] f*1_A [/mm] - [mm] f*1_{A^c}$ [/mm] und [mm] $f*1_A \ge [/mm] 0$ als auch [mm] $f*1_{A^c} \ge [/mm] 0$
Gruß,
Gono.
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Gilt aufgrund von Symmetrie evtl, dass
[mm] \integral_{-1}^{0} \integral_{0}^{2} [/mm] {f(x,y) dx dy}
=
[mm] \integral_{0}^{1} \integral_{0}^{2} [/mm] {f(x,y) dx dy} ?
wenn ja weiß ich wie ichs auseinander ziehen kann
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Hiho,
> Gilt aufgrund von Symmetrie evtl, dass
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> [mm]\integral_{-1}^{0} \integral_{0}^{2}[/mm] {f(x,y) dx dy}
>
> =
>
> [mm]\integral_{0}^{1} \integral_{0}^{2}[/mm] {f(x,y) dx dy} ?
>
> wenn ja weiß ich wie ichs auseinander ziehen kann
Die Gleichheit gilt nur Betragsweise!
Der eine Bereich hat nen anderes Vorzeichen als der andere, aber die Idee ist richtig.
Gruß,
Gono.
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Ok dann hab ich es jetzt :)
Vielen lieben Dank!
Lg,
Evelyn
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